POJ 3304：Segments & Acwing 2984：线段 （计算几何基础 枚举 判断点在直线两侧）

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POJ 3304：Segments
Acwing 2984：线段

题目大意

有n条线段，给出所有线段的两端点，判断是否存在一条直线，使得所有线段到这条直线上的投影都有交点，若存在输出Yes!，否则输出No!。

思路

首先要找这条直线不好直接找，所以我们就要将问题转化一下，若存在一条直线1和所有线段都有交点，则一定存在一条和该直线垂直的直线2，使得所有线段到直线2上的投影都有交点，交点就是所有线段和直线1的交点在直线2上的投影。如下图：

那么这样就好找这条直线了，因此这就将问题转化成了求一条直线和所有线段都有交点，那么现在如何求这条直线呢？我们考虑将这条直线绕任意一点旋转，那么他一定会被一条线段所限制，他最多可旋转到某条直线的一个端点，如图：

这里的红色端点就是限制他的点，然后我们再绕该红色点旋转，一点还会有另一个蓝点来限制这条直线，如图：

因此，我们就会发现，这条直线在这种情况下一点会经过所有线段端点的某两个，因此我们只需要枚举两个点，然后再判断一次即可。那么问题来了如何判断直线是否和线段相交呢？我们可以用向量的叉积来判断，如图直线ij和线段ab相交：

做向量$ji$和$ja$和$jb$，若a和b在直线的两侧，则$ji$与$ja$的叉积一定和$ji$与$jb$的叉积符号相反，这里在这有证明。
枚举的复杂度是O(n²)，枚举每个线段判断是否相交的复杂度是O(n)。所以总复杂度就是O(n³)，n是1e2，t是1e2，最坏情况到1e8，但一般不会到最坏情况，勉强过得去。

代码详解

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 210;
const double eps = 1e-8;
typedef pair<double,double> PDD;	//pair来存点或向量，存横纵坐标

int t,n;
PDD p[N],a[N],b[N];

int sign(double x)	//sign函数是取一个数的符号位
{
     
	if(fabs(x) < eps)	//若double x是0，返回0
		return 0;
	if(x < 0)		//若是负数，返回-1
		return -1;
	return 1;		//正数返回1
}

double cross(PDD a,PDD b,PDD c)	//cross是求叉积
{
     
	PDD u,v;	//定义两个向量
	u = {
     b.first-a.first,b.second-a.second};	//向量u是ab向量
	v = {
     c.first-a.first,c.second-a.second};	//向量v是ac向量
	return u.first*v.second - v.first*u.second;	//求uv叉积，就是x1*y2 - x2*y1
}

bool judge()
{
     
	for(int i = 0;i < n*2;i++)	//枚举所有点，共2n个点
	{
     
		for(int j = i+1;j < n*2;j++)
		{
     
			if(fabs(p[i].first-p[j].first) < eps && fabs(p[i].second-p[j].second) < eps)	//若两点是重合的，没法构成直线，直接continue
				continue;
			bool fg = 0;
			for(int k = 0;k < n;k++)	//判断所有线段
			{
     
				if(sign(cross(p[i],p[j],a[k])) * sign(cross(p[i],p[j],b[k])) > 0)	//如果两个叉积相乘大于0，说明两叉积同号，两点在直线同一侧
				{
     
					fg = 1;		//标记
					break;		//退出
				}
			}
			if(fg == 0)	//如果循环完都没被标记，说明都有交点
				return 1;
		}
	}
	return 0;
}

int main()
{
     
	cin >> t;
	while(t--)
	{
     
		cin >> n;
		int cnt = 0;
		for(int i = 0;i < n;i++)
		{
     
			double x1,x2,y1,y2;
			cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
			p[cnt++] = {
     x1,y1},p[cnt++] = {
     x2,y2};	//p存下所有点
			a[i] = {
     x1,y1},b[i] = {
     x2,y2};		//a存第i条线段的左端点，b是右端点
		}

		if(judge())
			cout << "Yes!" << endl;
		else
			cout << "No!" << endl;
	}

	return 0;
}