机器学习之无监督学习：降维
前置准备
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PCA方法及其应用
实现机理
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PCA方法也叫主成分分析，它是最常用的一种降维方法，通常用于高维数据集的探索与可视化，还可以用作数据压缩和预处理等。
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PCA可以把具有相关性的高位变量合称为线性无关的低维变量，称为主成分。主成分能够尽可能保留原始数据的信息。
PCA涉及到的部分相关术语：方差、协方差、协方差矩阵、特征向量和特征值。 -
方差
是各个样本和样本均值的差的平方和的均值，用来度量一组数据的分散程度。
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协方差
用于度量两个变量之间的线性相关程度，若两个变量的协方差为0，则可认为二者线性无关。协方差矩阵则是由变量的协方差值构成的矩阵（对称阵）。
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特征向量
矩阵的特征向量是描述数据集结构的非零向量，并满足如下公式（A是方阵，v是特征向量，λ是特征值）：
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PCA原理
矩阵的主成分就是其协方差矩阵对应的特征向量，按照对应的特征值大小进行排序，最大的特征值就是第一主成分，其次就是第二主成分，以此类推。 -
PCA算法过程
PCA实现高维数据可视化
已知鸢尾花数据是4维的，共三类样本。使用PCA实现对鸢尾花数据进行降维，实现在二维平面上的可视化。
效果图
源代码
#PCA-鸢尾花数据集降维.py
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.datasets import load_iris
data = load_iris() #以字典形式加载鸢尾花数据集
y = data.target #使用y表示数据集中的标签
X = data.data #使用x表示数据集中的属性数据
pca = PCA(n_components=2) #加载PCA算法，设置降维后主成分数目为2，也即参数n_components的设定
reduced_X = pca.fit_transform(X) #对原始数据进行降维，保存在变量reduced_X中
red_x, red_y = [], [] #第一类数据点
blue_x, blue_y = [], [] #第二类
green_x, green_y = [], [] #第三类
for i in range(len(reduced_X)): #按照鸢尾花的类别将降维后的数据点保存在不同的列表中
if y[i] == 0:
red_x.append(reduced_X[i][0])
red_y.append(reduced_X[i][1])
elif y[i] == 1:
blue_x.append(reduced_X[i][0])
blue_y.append(reduced_X[i][1])
else:
green_x.append(reduced_X[i][0])
green_y.append(reduced_X[i][1])
plt.scatter(red_x, red_y, c='r', marker='x') #第一类数据点
plt.scatter(blue_x, blue_y, c='b', marker='D') #第二类
plt.scatter(green_x, green_y, c='g', marker='.') #第三类
plt.show() #数据可视化
NMF方法及其应用
实现机理
- 非负矩阵分解（NMF），是在矩阵中所有元素均为非负数约束条件之下的矩阵分解方法。其基本思想为：给定一个非负矩阵V，NMF能够找到一个非负矩阵W和一个非负矩阵H，使得W和H的乘积近似等于V中的值。
- 矩阵分解优化目标：最小化W矩阵和H矩阵的乘积和原始矩阵之间的差别，目标函数如图所示：
- 基于KL散度的优化目标，损失函数如图所示：
NMF人脸数据特征提取
已知Olivetti人脸数据共有400个，每个数据都是64*64大小。由于NMF分解得到的W矩阵相当于从原始矩阵中提取到的的特征，那么就可以使用NMF对400个人脸数据进行特征提取。在本例中，设置k=6，随后将提取出的特征以图像的形式展示出来。
效果图
- 原始图像：
- PCA方法提取特征的图像：
- NMF方法提取特征的图像：
源代码
#NMF、PCA-人脸图像特征抽取与对比.py
from numpy.random import RandomState
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import fetch_olivetti_faces
from sklearn import decomposition
n_row, n_col = 2, 3 #设置图像展示时的排列情况
n_components = n_row * n_col #设置提取的特征的数目
image_shape = (64, 64) #设置人脸数据图片的大小
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# Load faces data
dataset = fetch_olivetti_faces(shuffle=True, random_state=RandomState(0))
faces = dataset.data #加载数据，打乱顺序
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def plot_gallery(title, images, n_col=n_col, n_row=n_row):
plt.figure(figsize=(2. * n_col, 2.26 * n_row)) #创建图片，并指定图片大小（英寸）
plt.suptitle(title, size=16) #设置标题和字号大小
for i, comp in enumerate(images):
plt.subplot(n_row, n_col, i + 1) #选择画制的子图
vmax = max(comp.max(), -comp.min())
plt.imshow(comp.reshape(image_shape), cmap=plt.cm.gray,
interpolation='nearest', vmin=-vmax, vmax=vmax) #数值归一化，以灰度图形显示
plt.xticks(())
plt.yticks(()) #去除子图的坐标轴标签
plt.subplots_adjust(0.01, 0.05, 0.99, 0.94, 0.04, 0.) #对子图位置及间隔调整
plot_gallery("First centered Olivetti faces", faces[:n_components])
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estimators = [
('Eigenfaces - PCA using randomized SVD',
decomposition.PCA(n_components=6,whiten=True)),
('Non-negative components - NMF',
decomposition.NMF(n_components=6, init='nndsvda', tol=5e-3))
] #对PCA和NMF进行实例化
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for name, estimator in estimators: #分别调用PCA和NMF
print("Extracting the top %d %s..." % (n_components, name))
print(faces.shape)
estimator.fit(faces) #调用PCA或NMF提取特征
components_ = estimator.components_ #获取提取的特征
plot_gallery(name, components_[:n_components]) #按照固定格式进行排列
plt.show() #数据可视化
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