组合数的计算(对溢出处理)

组合数的计算(对溢出处理)

组合数的计算过程中可能存在连用关键字long long int定义的变量都存放不下的大数，事实上，数字达到一定程度时，可以说非常容易溢出，long long int变量能存放的数字是无法改变的，毕竟long long int范围为0~2^63-1，但是这一些情况下，能在过程中进行约分从而避免了溢出，上面说的无法改变的那种情况就是即使约分了，但由于数字很多，相乘依然会爆

经过我的研究，给出两种思路(一条是书上的，我会标出，另一条是自己想的)：

注：本文中C m, n表示组合数上标为m，下标为n

一、先乘阶乘，再除以阶乘(《算法竞赛》P64)

例如：C m, n，这里m < n，所以C m, n = n(n-1)…(n-m+1)/m!

先算分子即乘以阶乘n(n-1)…(n-m+1)，再除以所算的分母即除以阶乘，就是这种思路。

我们知道：C m, n = C n-m, n 所以在计算的时候就有两种情况，与C m, n和C n-m, n分别对应，这里有两种情况，列举如下：

1）利用C m, n = n(n-1)…(n-m+1)/m! ;

2）利用C n-m, n = n(n-1)…(m+1)/(n-m)! ;

为了使数字不溢出，我们首先考虑的是分子，在第一步乘以阶乘时，得到的数尽量要小，所以我们采取情况1）还是情况2），最先考虑的应该是分子的大小，即n(n-1)…(n-m+1)和n(n-1)…(m+1)的大小，你可以算一下，这里直接给出结论：

当 m > n - m时，n(n-1)…(m+1)要更小

当 m < n - m时，n(n-1)…(n-m+1)要更小

并不需要将两种都写出来，实际上，默认其中一种即可，比如默认用n(n-1)…(n+m)分子的处理方式，只需在前面加一个小判断 ：if (m < n - m) m = n - m，这样即可保证m < n - m，便符合了默认情况，如选另外一种方式亦然

书中代码如下：

void CombiNumber(void)//求组合数
{
     
	int i, n, m;
	long long sum = 1;
    scanf("%d %d", &n, &m);
	if (m < n - m)  m = n - m;
	for (i = m + 1; i <= n; i ++)  sum *= i;
	for (i = 1; i <= n - m; i ++)  sum /= i;
	printf("sum = %lld\n", sum);
	
	return; 
}

二、乘除同算方法

想要做到乘除同时计算(一次循环两个步骤，乘、除)，就要考虑C m, n，我们知道：C m, n = n(n-1)…(n-m+1)/m!，这意味着分子和分母都有有m项，经过一番研究，我发现：

对于上标m来说，想要使m被完全约分掉，对应的分子项为n-m+1，意思就是：想要完全约去一个数m，最好的情况n可以整除m，需要1项乘积即可，最坏的情况需要用n乘n-1乘n-2…一直到n-m+1项，需要m项乘积，所以，对于分母第一项m，无法找到统一的标准来作为其完全约去需要乘到的某一项，所以分子从n到n-1到…n-m+1依次相乘来约分m到m-1到…1是行不通的

但是分子从n到n-1到…n-m+1依次相乘来约分m到m-1到…1是行不通，不代表分母从1到2到…到m行不通，根据上述观点，分子第一项n除以分母第一项1，一定能整除，为n ; 分子前两项n(n-1)除以分母第二项2，一定能整除(因为n和n-1其中一个必为偶数)；依次类推…

其实核心就一条，那就是：连续的m个数字相乘，一定能将m整除

式子可表示为：n(n-1)…(n-m+1) % m == 0

我的代码如下：

void CombiNumber(void)//求组合数
{
     
    int i, m, n;
	long long sum = 1;
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for (i = 1; i <= m; i ++)
	{
     
		sum *= n --;
		sum /= i;
	}
	printf("sum = %lld\n", sum);
	 
	return;
}

但是这还不是最优的，因为这里分子子项从大(n)到小(n-m+1)依次相乘，对应约分的分母子项是从小(1)到大(m)的，这样会有溢出风险，不如让分子子项从小到大依次相乘，也满足了分子子项相乘后可整除对应分母子项的条件
优化代码如下:

void CombiNumber(void)//求组合数
{
     
    int i, m, n;
	long long sum = 1;
	scanf("%d %d", &n, &m);
	if (m > n - m)  m = n - m;
	n = n - m + 1;
	for (i = 1; i <= m; i ++)
	{
     
		sum *= n ++;
		sum /= i;
	}
	printf("sum = %lld\n", sum);
	 
	return; 
}

今天就分享到这里啦，谢谢您的观看！