二叉树、平衡二叉树、红黑树、哈夫曼树

树是数据结构里面一个很重要的内容，它的有向无环图的结构，很适合用来做数据排列及检索，很多数据库的存储，都是使用的树这种数据结构来做存储的。
下面让我们梳理下树的几种分类。鉴于有太多关于树的定义文章，本文不会对每种树给出定义及详细说明，只会梳理总结，关于各类树的定义，可参考其他文献的定义。

普通二叉树

树本身是没有节点数限制的，而二叉树顾名思义，就是每个节点最多只有2个子节点的树，除此之外，没有其他的限制。

普通二叉树

满二叉树跟完全二叉树

在二叉树的基础上，满二叉树要求树的每个层级高度完全相同，且除了叶子节点，树上其他每个节点都必须有2个子节点。
跟满二叉树不同，完全二叉树在最下层的叶子节点层可以不满，但必须是从左到右依次填充叶子节点，不能跳过。
完全二叉树的创建思路完全按照广度优先遍历的方式，从根节点开始依次创建左右两个节点，然后把它的左右节点依次放到队列中，之后每次从队列中拿出一个元素，创建左右节点，并同时放入队列，如此反复。

满二叉树跟完全二叉树

二叉查找树（BST树）

二叉查找树是一种搜索树，在普通二叉树的基础上，增加了数据比对的过程，从根节点开始往下比对，比当前节点数据小的，放左边，大的放右边。
一般来说，二叉查找树的查找时间复杂度是O(Log2 n)，但是在极端情况下，数据会倒向一侧，导致查找的性能极差，变成遍历查找，也就是O(n)。

二叉查找树

平衡二叉树（AVL树）

平衡二叉树在二叉查找树的基础上添加了数据的平衡过程，它要求每一个节点，它的左子树跟右字数的高度差最多为1层，当节点的变化不符合这个条件时，需要通过从本节点开始，对树进行左旋或者右旋调整，然后逐层往上递归，判断其父节点是否需要左旋或者右旋，直到整棵平衡二叉树重新恢复平衡。

平衡二叉树插入及平衡过程

基于上述过程，二叉查找树存在的问题通过构建平衡二叉树能够得以解决。
平衡二叉树在增删改的过程中增加了一些平衡的消耗，从而达到树的稳定结构，这对于以增删改为主的业务场景而言是不合适的，更适合读多写少的场景。

红黑树

前面几种树课本上基本都深入学习过，但是红黑树可能大部分人都听过，但是却没有深入去学习了解。
红黑树的性质：

1、节点是红色或黑色。
2、根节点是黑色。
3、每个红色节点的两个子节点都是黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)
4、从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点。

红黑树的算法过程跟平衡二叉树类似，也是先在对应的子节点插入黑色节点数据，然后逐层往上递归判断是否符合红黑树的性质，不符合就左旋或者右旋，但由于它跟平衡二叉树相比：

• 1、红黑树没有那样严格要求各个节点的高度差在1度以内，因此它重新旋转平衡过程的性能代价比平衡二叉树小，红黑树插入过程最多需要重新平衡旋转3次，而平衡二叉树不一定。
• 2、红黑树的高度也可能平衡二叉树更高。但这是可以接受的一种折中方案，毕竟相比极端的二叉查找树，红黑树的稳定性还是非常高的，也是 O(Log2 n)。

红黑树

鉴于平衡二叉树的要求严格，因此红黑树实际上应用场景是远广于平衡二叉树的。而由于这两种树的旋转需求，因此它们更适合在内存的场景使用，比如java的TreeMap。
平衡二叉树跟红黑树的算法时间复杂度都是O(Log2 n)。

哈夫曼树

哈夫曼树是一种带权重的，路径长度最短的最优二叉树。
哈夫曼树的定义是：

假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。 n个权值分别设为 w1、w2、…、wn，则哈夫曼树的构造规则为：
(1) 将w1、w2、…，wn看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有一个结点)；
(2) 在森林中选出两个根结点的权值最小的树合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和；
(3) 从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林；
(4) 重复(2)、(3)步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为所求得的哈夫曼树。

下面让我们看一颗哈夫曼树的构成。
对于排序后的集合是：2,5,6,8,13,19,25,36 的内容，每次从集合中取出最小的两个数，从叶子节点开始构建，组成一个包含两个节点以及父节点的树（父节点的值是两个数的相加和），再把父节点放入集合中，重新执行构建过程，整个过程集合的变化情况是：
2,5,6,8,13,19,25,36 ->
7(2+5),6,8,13,19,25,36 ->
8,13(6+7),13,19,25,36 ->
13,19,21(8+13),25,36 ->
下一轮的时候，由于拿出来的13跟19都小于21，因此无法加入21所在的树因此结果是：
21(8+13),25,32(13+19),36 ->
32(13+19),36,46(21+25) ->
46(21+25),32(32+36) ->
114
最终结果是：

哈夫曼树

哈夫曼编码

哈夫曼树对数据集进行编码的结果叫做哈夫曼编码。由于哈夫曼树带权路径最短的特点，哈夫曼编码的特点也是对数据重新编排，使得整个用哈夫曼编码组成的内容最短。
对上述结果进行哈夫曼编码的话，是这样的一个过程：

哈夫曼编码过程

从而得出最终编码结果，各叶子节点从左到右分别是：

8 ：000
6：0010
2 ：00110
5：00111
25：01
13：100
19：101
36：11

总结

本文介绍了二叉树的几种常见的类型，包括普通二叉树、满二叉树、完全二叉树、二叉查找树、平衡二叉树、红黑树及哈夫曼树。
其中：

• 普通二叉树、满二叉树、完全二叉树是带有一定基本限制条件的二叉树，更多作为定义存在，实际上直接使用这些树的应用场景较少。
• 二叉查找树是一种最简单的能用于索引的树结构，但是性能不稳定。
• 平衡二叉树跟红黑树是为了让二叉查找树的性能稳定而设计的树，其中，平衡二叉树限制较多，而红黑树在其基础上做了灵活的变通，使其旋转的代价较小，同时性能又比较稳定，在工程实践中更加适合。
• 哈夫曼树是一种加权的二叉查找树，它的生成特点使其非常适合于对内容作编码优化。