二叉搜索树（BST）、平衡二叉搜索树

背景

我们认为线性数据结构包括：Vector（理解为数组）、List（理解为链表）、栈、队列，半线性结构包括：树、二叉树。

线性结构无法兼顾查找、插入操作，它们要么查找很慢、要么插入很慢，所以我们引入搜索树这种半线性结构，希望能兼顾查找和搜索操作。

数据结构	查找最差	插入最差	备注
无序数组	O(N)	O(N) 或 O(1)	注1
有序数组	O(logN)	O(N)
链表	O(N)	O(1)
二叉搜索树	O(N)	O(N)
平衡二叉搜索树	O(logN)	O(logN)

注1：若采用翻倍扩容策略，则插入的分摊时间复杂度为O(1)，对本文来说可不必理解那么深入。

虽然二叉搜索树（BST）的查找、插入操作最坏时间复杂度为O(N)，不甚理想。但在BST的思想基础上稍加改进，就可以得到平衡二叉搜索树（BBST），BBST的查找、插入都是O(logN)。BBST有很多种：AVL、红黑树等，本文介绍其中最简单的AVL。

BST的定义和性质

BST的顺序性：

• 左子树的所有节点 <= 当前节点
• 右子树的所有节点 >= 当前节点

由BST的顺序性可以引申/推导出几个结论：

• BST的中序遍历序列必然单调，见图（copy自邓俊辉数据结构）

BST的中序遍历序列

BST的实现

BST的查找、插入操作是容易的，本文略去不介绍。

而对于BST的节点删除操作，并不是很简单，需要分几种情况。

1. 待删节点为叶子
2. 待删节点只有左孩子或右孩子
3. 待删节点既有左孩子又有右孩子，通过将待删节点及其「直接后继」进行交换，从而转为情况2，直接后继是指中序遍历的下一个节点，如图（copy自邓俊辉数据结构）。

情况3转为情况2的处理方法

情况1、2虽然简单，但代码实现有点小麻烦。这里你会发现C、C++的指针、引用是那么好用啊！反倒是Python、Java实现起来很难受。不信我们以情况1为例考察下面不同语言的代码。

# Python语言
def remove(x):
    if x.left is None and x.right is None:  # 情况1
        # 这里麻烦，不但要依赖parent，还要判断自己是左孩子or右孩子
        if x == x.parent.left:
            x.parent.left = None
        else:
            x.parent.right = None

// C++语言，让调用者传入指针的引用
void remove(TreeNode *&x) {
    if (x->left == NULL && x->right == NULL) {  // 情况1
        x = NULL;  // 这里就特别方便了
    }
}

若不断插入已经升序/降序的元素，BST会达到最差情况，此时BST是极不平衡的。如图（copy自邓俊辉数据结构）。

image.png

平衡二叉搜索树：AVL

为了克服BST的最差情况，我们引入AVL。
todo：剩下内容后续补充，不过我有拖延症。