八皇后问题python_算法-递归解决八皇后问题-python3实现

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本文介绍八皇后问题的解决思路，并使用python3实现。

1.问题阐述

目标： 8×8 的国际象棋棋盘上放置八个皇后

规则：任两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上

显然可得： 由于任意皇后不能同行，所以每一行最多放置一位皇后；

由于行数=皇后数，所以每一行至少放置一位皇后

故：正确的放置方式，一定是每行一位皇后(1)

为了方便读者了解规则，我们以4皇后问题为例，简述该类问题的规则与解法。并且，本文以图示的方式进行说明，当一个皇后确定位置后，她的同行、同列、同斜线方向不可以再放置其他皇后。我们用灰色表示不能放置皇后的位置。

step1：放置第一位皇后：现将第一为皇后放在第一列，那么其同一条横行、纵行或斜线位置将不能再放置其她皇后；

step2：放置第二位皇后：第二位皇后只可以放置在第三列或第四列，先尝试放置在第三列；

step3：放置第三位皇后：由于第三行所有位置都无法放置第三位皇后，这与上文(1)出给出的结论相悖，故该放置方式不合理。

重复上述分析过程，可知，无法正确放置第四位皇后，故该方法亦不可行；

继续改变Q1的位置，我们得到了第二种解法。

这时候，我们仔细观察一下，发现第一种和第二种解法是完全对称的！

继续思考一下易得，N皇后问题，当N=偶数时，其解法个数必将是偶数。

2.解题思路

通过上一节对四皇后问题的手动推演，我们可以提取出基本的结题思路： 每一行必定有一位皇后，所以我们只要确定每一行的皇后所处列数即可。

确定一位皇后，我们就需要将其同行、同列、同斜线方向位置标记为不可用

利用遍历+递归的思想，即可实现所有结果的求解

但是，在写code之前，我们还有一个问题需要解决：

那就是同斜线方向的位置，如何判定？

简单的方式，仍然是遍历，判断y1-y2 == x1-x2是否成立即可。但如果每个位置都要先遍历一遍位置阵列，这样的方法计算量太大。是否有更加简单的方法呢？请读者看下面两端代码： def left_diagonal(n): arr = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(n)] for i in range(n): for j in range(n): arr[i][j] = i + j return arr if __name__ == '__main__': arr = left_diagonal(8) for a in arr: print(a)

可见，每一个位置的行列值相加，同一左斜线上的和都相等。

这就表明，我们如果想要判定两个元素是否在同一条左斜线上，将其行列值相加，观察和是否相等即可。

在看另外一个程序： def left_diagonal(n): arr = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(n)] for i in range(n): for j in range(n): arr[i][j] = i + j return arr def right_diagonal(n): arr = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(n)] for i in range(n): for j in range(n): arr[i][j] = i - j + (n - 1) return arr if __name__ == '__main__': arr = right_diagonal(8) for a in arr: print(a)

运行结果：

可见，每一个位置的行列值的差，同一右斜线上的和都相等。

这就表明，我们如果想要判定两个元素是否在同一条右斜线上，将其行列值相减，观察和是否相等即可。

3.使用递归解决八皇后问题：

先看代码 #coding=utf-8 num = 8 result = [-1 for _ in range(num)] enable0 = [True for _ in range(num)] enable1 = [True for _ in range(2*num-1)] enable2 = [True for _ in range(2*num-1)] result = [-1 for _ in range(num)] out_list = [] def queen(r): if (r == 8): # print(result) out_list.append(result.copy()) return 0 else: for c in range(num): if (enable0[c] and enable1[r+c] and enable2[r-c+num-1]): enable0[c] = False enable1[r+c] = False enable2[r-c+num-1] = False result[r] = c queen(r+1) result[r] = -1 enable0[c] = True enable1[r + c] = True enable2[r - c + num-1] = True queen(0) print('Number of all solution :',len(out_list)) one_solution = out_list[1] for index in one_solution: temp = ['_' for _ in range(8)] temp[index] = '*' print(temp)

本代码，通过设置三个辅助数组，enable0，enable1,enalbe2分别表示8列、15条左斜线，15条右斜线的位置可用状态。

通过递归，可以实现所有情况的遍历。

结果: