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有约束复原有约束的最小二乘方图像复原维纳滤波方法

5.3 有约束复原 5.3.1 有约束的最小二乘方图像复原 5.3.2 维纳滤波方法 5.3.3 有约束最小平方滤波 5.3.4 去除由匀速运动引起的模糊 5.3.1 有约束的最小二乘方图像复原 有约束图像复原技术是指除了要求了解关于退化系统的传递函数之外，还需要知道某些噪声的统计特性或噪声与图像的某些相关情况。根据所了解的噪声的先验知识的不同，采用不同的约束条件，从而得到不同的图像复原技术。最常见的是有约束的最小二乘方图像复原技术。 在最小二乘方复原处理中，有时为了在数学上更容易处理，常常附加某种约束条件。例如，可以令Q为f的线性算子，那么，最小二乘方复原问题可看成是使形式为||Qf||2的函数，服从约束条件 的最小化问题。 5.3.1 有约束的最小二乘方图像复原 为最小。式中λ为一常数，是拉格朗日系数。加上约束条件后，就可以按一般求极小值的方法进行求解。 5.3.1 有约束的最小二乘方图像复原 5.3.1 有约束的最小二乘方图像复原 式中 1/λ必须调整到约束条件被满足为止。 求解式(5-45)的核心就是如何选用一个合适的变换矩阵Q。选择Q形式不同，就可得到不同类型的有约束的最小二乘方图像复原方法。 如果选用图像f和噪声n的相关矩阵Rf和Rn表示Q就可以得到维纳滤波复原方法。 如选用拉普拉斯算子形式，即使某个函数的二阶导数最小，就可推导出有约束最小平方恢复方法。 5.3.2 维纳滤波方法 维纳滤波是假设图像信号可近似看成为平稳随机过程的前提下，按照使原图像和估计图像之间的均方误差达到最小的准则函数来实现图像复原的。 　从式(5-44)出发，将式(5-44)重写如下： 其中Rf和Rn分别是图像f和噪声n的相关矩阵，因为图像f和噪声n的每个元素值都是实数，所以Rf和Rn都是实对称矩阵。 5.3.2 维纳滤波方法 在大部分图像中，邻近的像素点是高度相关的，而距离较远的像素其相关性却较弱。由此，典型的图像自相关函数通常随着与原点距离的增加而下降。图像的功率谱随着频率的升高而下降。也就是典型的相关矩阵只在主对角线方向上有一条非零元素带，而在右上角和左下角的区域将为零值。像素的相关性只是它们相互距离而不是位置函数的性质，可将Rf和Rn都用块循环矩阵表达。 设W为变换矩阵，A和B分别对应于Rf和Rn相应的对角矩阵，根据循环矩阵对角化的性质可知，A和B中的诸元素分别为Rf和Rn中诸元素的傅立叶变换，并用Sf(u,v)和Sn(u,v)表示。 5.3.2 维纳滤波方法 　 把式(5-49)代人到式(5-45)，并考虑到H也是循环矩阵，也可以对角化，即可以写成：H＝WDW－1 ，代入式(5-46)，得： 5.3.3 有约束最小平方滤波 维纳滤波的最优准则是以图像和噪声的相关矩阵为基础的，所得到的结果是对一族图像在平均的意义上是最佳的，同时要求图像和噪声都属于随机场，并且它的频谱密度是已知的。 在实际情况下，人们往往没有这一方面的先验知识，一般很难得到，除非采取适当的功率谱模型。 有约束最小平方复原是一种以平滑度为基础的图像复原方法。在用该方法复原过程中，对每个给定的图像都是最佳的。它只需要知道有关噪声的均值和方差的先验知识就可对每个给定的图像得到最优结果。 5.3.3 有约束最小平方滤波 有约束最小平方复原仍然是以最小二乘方滤波复原式(5-45)为基础的，关键是如何选择合适的变换矩阵Q。下面先从一维情况进行讨论，然后扩展到二维。 如给定一维离散函数f(x)，该函数在某一点x处的二阶导数可近似表示为： 5.3.3 有约束最小平方滤波 矩阵C称为平滑矩阵，f为图像向量。 对于二维情况f(x,y)在(x,y)处的二阶导数可用下式近似： 5.3.3 有约束最小平方滤波 (5-60) 与有约束的最小二乘方图像复原准则函数式(5-43)及复原函数式(5-45)进行比较，可以理解式(5-43)中的变换矩阵Q相当于约束最小平方复原的最佳准则中的平滑矩阵C，由此可得： 5.3.3 有约束最小平方滤波 对应于每一个元素(当M = N)．可表示成： 上式u=0, 1, 2, …, N-1; v=0, 1, 2, …, N-1。 是一个调节参数，当调节 满足 时，式(5-69)才能达到最优。 5.3.3 有约束最小平方滤波 上述介绍的图像复原是假设退化系统是空间不变，信号和噪声是平稳的条件下得到的，对于随