算法导论之经典算法：折半查找全面解析

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算法导论之经典算法：折半查找全面解析

本文关键字：算法导论、经典算法、元素查找、折半查找、算法实践

一、什么是算法

本专栏为《手撕算法》栏目的子专栏：《算法导论》，会讲述一些经典算法，并进行分析。在此之前我们要先了解什么是算法，能够解决什么样的问题。

1. 算法的定义

以下为经典教材《Introduction.to.Algorithms》开篇中的内容。

Informally, an algorithm is any well-defined computational procedure that takes some value, or set of values, as input and produces some value, or set of values, as output. An algorithm is thus a sequence of computational steps that transform the input into the output.

可以看到，任何被明确定义的计算过程都可以称作算法，它将某个值或一组值作为输入，并产生某个值或一组值作为输出。所以算法可以被称作将输入转为输出的一系列的计算步骤。
这样的概括是比较标准和抽象的，其实说白了就是步骤明确的解决问题的方法。由于是在计算机中执行，所以通常先用伪代码来表示，清晰的表达出思路和步骤，这样在真正执行的时候，就可以使用不同的语言来实现出相同的效果。
概括的说，算法就是解决问题的工具。在描述一个算法时，我们关注的是输入与输出。也就是说只要把原始数据和结果数据描述清楚了，那么算法所做的事情也就清楚了。我们在设计一个算法时也是需要先明确我们有什么和我们要什么，这一点相信大家在后面的文章中会慢慢体会到。

2. 补充的概念

• 数据结构

算法经常会和数据结构一起出现，这是因为对于同一个问题（如：排序），使用不同的数据结构来存储数据，对应的算法可能千差万别。所以在整个学习过程中，也会涉及到各种数据结构的使用。
常见的数据结构包括：数组、堆、栈、队列、链表、树等等。

• 算法的效率

在一个算法设计完成后，还需要对算法的执行情况做一个评估。一个好的算法，可以大幅度的节省运行的资源消耗和时间。在进行评估时不需要太具体，毕竟数据量是不确定的，通常是以数据量为基准来确定一个量级，通常会使用到时间复杂度和空间复杂度这两个概念。

• 时间复杂度

通常把算法中的基本操作重复执行的频度称为算法的时间复杂度。算法中的基本操作一般是指算法中最深层循环内的语句（赋值、判断、四则运算等基础操作）。我们可以把时间频度记为T(n)，它与算法中语句的执行次数成正比。其中的n被称为问题的规模，大多数情况下为输入的数据量。
对于每一段代码，都可以转化为常数或与n相关的函数表达式，记做f(n)。如果我们把每一段代码的花费的时间加起来就能够得到一个刻画时间复杂度的表达式，在合并后保留量级最大的部分即可确定时间复杂度，记做O(f(n))，其中的O就是代表数量级。
常见的时间复杂度有（由低到高）：O(1)、O(${\log }_{2}n$)、O(n)、O($n{\log }_{2}n$)、O($n^2$)、O($n^3$)、O($2^n$)、O(n!)。

• 空间复杂度

程序从开始执行到结束所需要的内存容量，也就是整个过程中最大需要占用多少的空间。为了评估算法本身，输入数据所占用的空间不会考虑，通常更关注算法运行时需要额外定义多少临时变量或多少存储结构。如：如果需要借助一个临时变量来进行两个元素的交换，则空间复杂度为O(1)。

• 伪代码约定

伪代码是用来描述算法执行的步骤，不会具体到某一种语言，为了表达清晰和标准化，会有一些约定的含义：
缩进：表示块结构，如循环结构或选择结构，使用缩进来表示这一部分都在该结构中。
循环计数器：对于循环结构，在循环终止时，计数器的值应该为第一个超出界限的值。
to：表示循环计数器的值增加。
downto：表示循环计数器的值减少。
by：循环计数器的值默认变化量为1，当大于1时可以使用by。
变量默认是局部定义的。
数组元素访问：通过"数组名[下标]"形式，在伪代码中，下标从1开始（"A[1]“代表数组A的第一个元素）。
子数组：使用”…"来代表数组中的一个范围，如"A[i…j]"代表从第i个到第j个元素组成的子数组。
对象与属性：复合的数据会被组织成对象，如链表包含后继（next）和存储的数据（data）,使用“对象名 + 点 + 属性名”。
特殊值NIL：表示指针不指向任何对象，如二叉树节点无子孩子可认为左右子节点信息为NIL。
return：返回到调用过程的调用点，在伪代码中允许返回多个值。
and和or：与运算和或运算默认短路，即如果已经能够确定表达式结果时，其他条件不会去判断或执行。

二、折半查找

1. 元素查找介绍

查找也被称为检索，算法的主要目的是在某种数据结构中找出满足给定条件的元素（以等值匹配为例）。如果找到满足条件的元素则代表查找成功，否则查找失败。
在进行查找时，对于不同的数据结构以及元素集合状态，会有相对匹配的算法，在使用时也需要注意算法的前置条件。在元素查找相关文章中只讨论数据元素只有一个数据项的情况，即关键字（key）就是对应数据元素的值，对应到具体的数据结构，可以理解为一维数组。

• 顺序查找

也称线性查找，是最简单的查找方法。思路也很简单，从数组的一边开始，逐个进行元素的比较，如果与给定的待查找元素相同，则查找成功；如果整个扫描结束后，仍未找到相匹配的元素，则查找失败。
文章传送门：算法导论之经典算法：顺序查找全面解析。

• 折半查找

也称二分查找，是一种效率相对较高的查找方法。使用该算法的前提要求是元素已经有序，因为算法的核心思想是尽快的缩小搜索区间，这就需要保证在缩小范围的同时，不能有元素的遗漏。

• 索引查找

索引查找主要分为基本索引查找和分块查找，核心思想是对于无序的数据集合，先建立索引表，使得索引表有序或分块有序，结合顺序查找与索引查找的方法完成查找。

2. 折半查找

• 输入

n个数的有序序列，以数组为例，默认升序。
待查找元素key。

• 输出

查找成功：返回元素所在位置的编号。
查找失败：返回-1或自定义失败标识。

• 算法说明

算法的核心思想是不断的缩小搜索的范围，每次取区间的中心来进行比较，会有三种情况发生：

1. 与key相等：直接返回对应的位置（对于有重复元素的情况，会在其他子专栏中说明）。
2. 比key大：由于元素有序，要查找的元素一定在左侧（如有），于是搜索区间变为左一半。
3. 比key小：由于元素有序，要查找的元素一定在右侧（如有），于是搜索区间变为右一半。

于是，只要不断的重复取中间比较和指定新的搜索区间这两个步骤，直到区间的两个端点已经重合（代表搜索完毕）或者找到元素时为止。

• 算法流程

以下图片来自《数据结构简明教程》，查找关键字为7的元素：

1. 第一次比较：mid坐标为4，对应元素为10，大于7，则区间变为左一半：[0,3]。
2. 第二次比较：mid坐标为1，对应元素为1，小于7，则区间变为右一半：[2,3]。
3. 第三次比较：mid坐标为2，对应元素为7，等于7，返回逻辑序号：mid + 1 = 3。

3. 伪代码

折半查找需要不断的改变区间和取中间元素来进行判断，只要明确key与比较元素的关系就可以确定新的比较区间，然后循环这个过程。理解了核心步骤后，伪代码表示如下：

left = 1
right = A.length
while left <= right
    mid = (left + right) / 2
    if A[mid] == key
        return mid
    else if A[mid] > key
        right = mid - 1
    else
        left = mid + 1
return -1

算法的输入为升序数组A（其中包含n个元素，无重复）以及待查找元素key。
初始搜索区间为整个数组：从 A[1] 到 A[n]。
最后一次循环为左右区间已经重合，如果还没有找到元素，说明集合中没有元素。
如果在查找过程中，出现中间点与key相等的情况，则代表已经找到，直接返回。
如果中间点的值与key不相等，则需要改变其中一个端点，实现搜索区间的减半。

三、算法实践

1. 算法实现

• 输入数据（input）：A = {10，11，12，14，20，32，34，35，41，43}，key = 11
• Java源代码

需要注意源代码与伪代码的区别，请查看文章开头补充的概念部分，这里不做过多说明。

public class BinarySearch {
     

    public static void main(String[] args) {
     
        // input data
        int[] a = {
     10,11,12,14,20,32,34,35,41,43};
        int key = 11;
        // 调用算法，并输出结果
        int result = search(a, key);
        System.out.println(result);
    }

    private static int search(int[] a,int key){
     
        // 初始化变量
        int left = 0;
        int right = a.length - 1;
        // 循环终止条件为：左右端点发生交错
        while (left <= right){
     
            // 取中间元素，以下写法防止数据量较大时发生溢出
            int mid = (right - left) / 2 + left;
            if (a[mid] == key){
     
                // 情况1：与key相等
                return mid + 1;
            }else if(a[mid] > key){
     
                // 情况2：比key大
                right = mid - 1;
            }else {
     
                // 情况3：与key小
                left = mid + 1;
            }
        }
        // 循环结束还未触发内部的return则代表未找到，此时返回-1
        return -1;
    }

}

• 执行效果

• 输出数据（output）：2

2. 时间复杂度

• 最坏的情况

最坏的情况就是直到最后一次才找到key，或者查找失败的情况。那么也就是说我们只要能计算出最多会找多少次，就能知道最快的情况。
可以知道，寻找的最大次数肯定是与n相关的，由于每次区间都缩小一半。所以这个问题就好比一根绳子，最多被折多少次，直到最后剩下一个元素（不能再折）为止。所以就是一个以2为底，相对于n的对数O(${\log }_{2}n$)，这也就是循环最多会执行的次数（循环内部的代码都是常量级别）。

• 最好的情况

对于二分查找来说最好的情况就是第一次就找到了key，也就是一脚定乾坤了，此时的时间复杂度为常数级：O(1)。

• 平均情况

综合两种情况，二分查找的时间复杂度为O(${\log }_{2}n$)。

3. 空间复杂度

由于算法不会改变原有的元素集合，只需要几个额外的变量记录关键信息，所以空间复杂度为常数级：O(1)。