夜深人静写算法（九）- Dancing Links X（跳舞链）

目录  

一、引例

      1、 买点彩票压压惊

二、精确覆盖

      1、精确覆盖的定义

      2、穷举法

      3、状态压缩

      4、回溯法

三、Dancing Links X算法

      1、X算法

      2、搜索树

      3、传统矩阵存储

      4、Dancing Links

      5、十字交叉双向循环链表

      6、额外结点的意义

四、Dancing Links X算法的具体实现

      1、结点定义DLXNode

      2、链表定义DLX

      3、初始化

      4、结点插入

      5、删列

      6、删行

      7、开始跳舞

五、精确覆盖的应用

1、开关切换问题

      2、N皇后问题

      3、骨牌覆盖问题

      4、数独问题

六、重复覆盖

      1、重复覆盖的定义

      2、迭代加深（IDA*）

      3、启发式函数

      4、引用计数

七、重复覆盖的应用

      1、回顾彩票问题

      2、雷达系统

      3、支配集问题

八、跳舞链相关题集整理

一、引例

  1、买点彩票压压惊

  【例题1】有这样一种彩票，规则如下：总共八个数字，范围是[1,8]。八选五，如果五个都中，则为特等奖；如果中了其中四个，则为一等奖。作者觉得连年会都抽不到奖的人来说特等奖的概率太小了，所以对特等奖基本不抱希望。但是想尝试下一等奖，于是他想知道至少要买多少张彩票才能使得他中一等奖的概率为100% 。

  如果这个问题问的是让特等奖概率为100%，会变得简单许多。可以这么考虑，C(8,5)种情况下，每种情况都有可能中奖，所以每张彩票都必须买才能保证没有漏网之鱼。所以只要买下C(8,5)=56张彩票，就能保证一定有一张能中特等奖。

  但是，如果五个里面中四个，情况就不一样了。假设我买了两张彩票，一张为{1,2,3,4,5}，一张为{4,5,6,7,8}，但是中一等奖的四个数字为{1,2,3,6}。虽然两张彩票覆盖了所有数字，但是第一张只中了三个数字{1,2,3}；第二张之中了一个数字{6}，因而都不算中奖。

图一-1-1

  为了应对任何一种中奖情况，我们需要做这样一件事情：从所有的C(8,5)种组合，也就是彩票中挑选出K种彩票，使得这K种彩票里能够找到任意的C(8,4)的组合（{1,2,3,4},{1,2,3,5},...{4,5,6,7}...等等），并且使得这个K最小。为了使问题更加通俗易懂，我们减小数据量，考虑“四选三中二”的情况（四个数字选三个，中其中二个才算中奖）。

  如图一-1-2，这是一个矩阵，矩阵的行代表所有的彩票组合（四选三），矩阵的列代表所有中奖组合（四中二）。对于每一行，如果这种组合包含对应的中奖组合，那么将它对应矩阵的位置图上颜色。为了看起来不混淆，第一种组合方案采用红色，第二种橙色，以此类推...

图一-1-2

  然后我们把这个矩阵数字化，有颜色的地方置为1，没有颜色的置为0，得到了如下矩阵：

图一-1-3

  这个矩阵有一个特点就是：“每行三个1”，这是肯定的，因为对于每一行来说，要从三个数字中挑出所有中了两个数字的情况，即C(3,2)=3。但是这不是我们关心的重点，我们关心的是如何选择一些行集合，使得所有列都能被选到（或者说覆盖到）。

更加官方的描述是：在这个矩阵上找到一些行集合，使得集合中每一列至少一个“1”，并且保证选出的行数最少。

  这就是经典的重复覆盖问题。接下来我们通过从精确覆盖入手，引入DancingLinks结构，逐步抽丝剥茧，揭晓如何高效的求解重复覆盖问题。

二、精确覆盖

  1、精确覆盖的定义

  【例题2】给定一个R×C（R, C <= 15）的01矩阵，问是否存在这样一个行集合，使得集合中每一列恰有一个“1”。

   如图二-1-1，表示的是一个6×7的01矩阵。我们可以通过选择第1、5、6行使得这些行集合中每列恰有一个“1”（“恰有”的意思是有且仅有）。

图二-1-1

   这类问题就是经典的精确覆盖问题，没有多项式算法，属于NP完全问题。通用解法是穷举法。

  2、穷举法

   穷举的意思就是枚举所有状态，每一行的状态有“选”和“不选”两种，那么R行的状态数就是2^R。所以穷举的复杂度是指数级的。穷举的常用实现就是深度优先搜索：对于一个R×C的矩阵，枚举每一行r的“选”与“不选”，第r行“选”的条件是它和已经选择的行集合都没有冲突（两行冲突的定义是两行中至少存在一列上的两个数字均为“1”）。当已经选择的行集合中所有的列都恰有一个“1”时算法终止。

   那么，枚举每行选与不选的时间复杂度为O(2^R)，每次选行时需要进行冲突判定，需要遍历之前选择的行集合的所有列，冲突判定的最坏时间复杂度为O(R*C)，所以整个算法的最坏复杂度O(R*C*2^R)。

   这里可以加入一个很明显的优化：由于问题的特殊性，即选中的行集合的每列只能有一个“1”。所以可以利用一个全局的哈希数组H[]标记当前状态下列的选择情况（H[c]=1表示第c列已经有一个“1”了）。这样每次进行冲突判定的时候就不需要遍历之前所有的行，而只需要遍历这个哈希数组H，遍历的最坏复杂度为O(C)。选中一个没有冲突的行之后，用该行里有“1”的列去更新哈希数组H，复杂度也是O(C)（需要注意的是：深搜在回溯的时候，需要将哈希数组标记回来）。所以整个算法的最坏复杂度为O(C*2^R)。对于R和C都在15以内的情况，时间复杂度的数量级大概在10^6，已经可以接受了。

  【例题3】给定一个R×C（R <= 20, C <= 50）的01矩阵，问是否存在这样一个行集合，使得集合中每一列恰有一个“1”。

   这题和上一题的区别在于R和C的数据量，总数据规模是之前的四倍多，观察数据量，如果利用穷举+哈希，那么时间复杂度是10^8的数量级，已经无法满足我们的需求。这时可以采用状态压缩。

  3、状态压缩

   状态压缩一般用在动态规划中，这里我们可以将它进行扩展，运用到搜索里。

   考虑上述矩阵的某一行，这一行中的每个元素的值域是[0, 1]，所以可以把每个元素想象成二进制数字的某一位，那么我们可以将一个二维矩阵的每一行压缩成一个二进制数，使得一个二维矩阵变成一个一维数组（降维）。

图二-3-1

   由于列数C的上限是50，所以可以把每一行用一个64位的整型来表示。

  然后我们可以把问题的求解相应做一个转化，变成了求一个一维数组的子集，子集中的数满足两个条件：

   1) 任意两个数的“位与”(C++中的'&')等于0;

   2) 所有数的“位或”(C++的'|')等于2^C - 1;

  第1)条很容易理解，倘若存在某两个数的“位与”不等于0，那么在这两个数的二进制表示中势必存在某一位都为1，即一列上至少有两个“1”，不满足题目要求；第2)条可以这么理解，所有数的“位或”等于2^C - 1，代表选出的数中所有位都至少有一个“1”，结合第1)条，代表选出的数中所有位至多有一个“1”。与之前的矩阵精确覆盖问题等价转化。

  那么我们依旧采用穷举法，枚举每个数的“选”与“不选”。需要用到一个64位整型的辅助标记X（相对于之前的哈希数组H），X表示所有已经选择数的“位或”和。那么第r个数“选”的话则需要满足它和X的“位与”等于0（这个简单的操作相当于之前提到的行冲突判定）。辅助标记X的判定和更新的时间复杂度都是O(1)的，所以总的时间复杂度就是穷举的复杂度，即O(2^R)。

  【例题4】给定一个R×C（R <= 50, C <= 200）的01矩阵，问是否存在这样一个行集合，使得集合中每一列恰有一个“1”。

   数据量进一步扩大，我们发现单纯的穷举已经完全没法满足需求，需要对算法进行进一步改进。

  4、回溯法

  还是采用枚举的思想，不同的是这次的枚举相对较智能化。具体思路是当枚举某一行的时候，预先把和这行冲突的行、列都从矩阵中删除，这样一来避免下次枚举到无用的行，大大减少搜索的状态空间。

  以之前的6×7的矩阵为例，当枚举第一行“选”时，这行中有“1”的列就可以从原矩阵中删除了。如图二-4-1所示，其中红色的框代表选中的行，蓝色的框代表删除的列。

图二-4-1

  再深入一点，我们可以把那些删除的列上有“1”的行也进行删除，这个是显然的，因为一列上只能有一个“1”，所以已经选了一行，其它的行就都不需要了。如图二-4-2，左数第一个蓝色框（第二列）的第三个元素为“1”，所以可以直接删除第三行。同样的，第二个蓝色框（第六列）的第二个元素为“1”，所以直接删除第二行。绿色的框代表删除的行。

图二-4-2

  这样一来，一个6×7的矩阵经过一次枚举+删除，转变成了一个3×5的矩阵。继续用同样的方式求解这个小规模的矩阵。如图二-4-3所示，红色框的行选中后，需要删除蓝色列和绿色行。删除完后剩下的矩阵变成了空矩阵。本次搜索一共选择两行，选中的行中有“1”的列数为5，而总列数为7，所以这种方案宣告失败。

图二-4-3

  这时候我们需要回溯，首先将空矩阵恢复为3×5的矩阵，然后选择第二行。如图二-4-4，进行列和行的删除后，剩下的为一个1×3的矩阵，而且三个数字均为“1”。很明显，这一行必选。至此，我们找到了一个精确覆盖的可行解。

  这里需要注意的就是，在解输出时需要转换成最原始矩阵对应的行号，即第1行、第5行、第6行。

图二-4-4

三、Dancing Links X算法

  1、X算法

  上述的回溯法求解精确覆盖问题的算法，是由算法大师Donald Knuth提出的，被称为“X算法”。它是一个递归、非确定性、深度优先的回溯算法。算法的描述如下（译自维基百科 https://en.wikipedia.org/wiki/Knuth%27s_Algorithm_X ）：

   1) 如果矩阵A没有列（即空矩阵），则当前记录的解为一个可行解；算法终止，成功返回；

   2) 否则选择矩阵A中“1”的个数最少的列c；（确定性选择）

   3) a.如果存在A[r][c]=1的行r，将行r放入可行解列表，进入步骤4)；（非确定性选择）

     b.如果不存在A[r][c]=1的行r，则剩下的矩阵不可能完成精确覆盖，说明之前的选择有错（或者根本就无解），需要回溯，并且恢复此次删除的行和列，然后跳到步骤3)a；

   4)对于所有的满足A[r][j]=1的列j
        对于所有满足A[i][j]=1的行i，将行i从矩阵A中删除；
     将列j从矩阵A中删除；

   5) 在不断减少的矩阵A上递归重复调用上述算法；

  上述的行r的“非确定性选择”的意思是这个算法本质把自身复制给多个独立的子算法；每个子算法继承当前矩阵A。所有子算法搭建了一棵搜索树，树根是初始矩阵，每个被删除行列的矩阵是这棵搜索树树上的内部结点，空矩阵是叶子结点，回溯就是前序遍历树的过程，即深度优先。任意一个深度为k的搜索树结点中的矩阵代表了一个选择k行后剩下的矩阵。

  2、搜索树

  如图三-2-1展示的是一棵矩阵A经过X算法后产生的搜索树。

图三-2-1

  黑色箭头代表了搜索树的树边，连接的两个树结点分别代表搜索前的矩阵状态和搜索后的矩阵状态，正向（即橙色箭头）代表了状态转移，也就是选择某一行，并且根据规则进行删列、删行的过程；反向（即咖啡色箭头）代表了回溯，也就是恢复之前删除的行、列的过程。为了使问题更加清晰，我们将上面的图进行一个转化。

图三-2-2

  如图三-2-2，每个矩阵代表一个状态，S0代表了初始矩阵，S1代表选中第四行并且删除相应列和行之后剩下的矩阵，S2、S3同理可得，S4代表空矩阵。这个就是本次X算法的完整搜索树，随着行数的增加，搜索树的结点数可能呈指数级增长。

  在这个搜索流程中，涉及到了大量的矩阵缓存和矩阵回溯，于是，设计一种合适的数据结构来存储矩阵显得尤为重要。

  3、传统矩阵存储

  传统存储矩阵的方式是二维数组，但是在搜索中删除行列之后需要将后面的行列数据相应往前移，对于一个R×C的矩阵来说，最坏的时间复杂度是O(R*C)。更加糟糕的是，每次搜索失败的时候，需要回退删除的数据，也就是矩阵回溯，又是一个O(R*C)的时间复杂度，理解起来显得很繁琐，实现起来也很容易写错。当然，你可以选择每次搜索时生成一个新的矩阵，然后将原矩阵中未删除的数据拷贝过来，虽然相对来说易于理解，但是时间复杂度还是没有解决，而且带来了一个额外空间开销，当递归深度过深还可能导致栈溢出。

  4、Dancing Links

  于是算法大师Donald Knuth提出了Dancing Links X算法，Dancing Links翻译成舞蹈链，并不是算法本身，而是一种链式的数据结构，利用链表的性质，在缓存和回溯矩阵中运用得恰到好处，不需要额外开辟空间，在这种结构存储的矩阵，列删除是O(1)的、行删除是O(C)的（当然这个取决于如何实现）。正是由于这种删除、恢复的操作是指针之间的跳跃仿佛精妙的舞蹈一般，由此得名。

  “Dancing Links X”的含义正是利用“舞蹈链”来求解“X算法”的意思。

  设想一个双向循环链表中的某个结点x，x->left 和 x->right 分别指向它的左右结点。我们可以通过图三-4-1的操作将x从这个双向循环链表中移除。

图三-4-1

  你可能会说，这种写法存在一定隐患。因为移除后，x的内存还在，x->left 和 x->right 还是指向链表中的元素，应该将它们置空并且释放掉x的内存。

  但是上面说的是将x移除，而并非删除，也就是说x对于我们来说还有利用价值，所以我们只是暂时将它从链表中移除，等到时机成熟，我们还想将它添加回链表中。如图三-4-2，由于当时移除x的时候并没有修改x的left和right指针，也没有释放x的内存，所以重新添加x就变得如此简单。

图三-4-2

  这两步操作正是Dancing Links的精华，联想之前的矩阵的删除和恢复，x的移除类似矩阵的删行和删列，而将x重新添加回来类似矩阵的回溯。只不过矩阵是二维的，这个双向循环链表是一维的，那么没关系，我们可以将维数进行扩展。

  Dancing Links正是十字交叉双向循环链表。

  5、十字交叉双向循环链表

  这种链表结构的每个结点有两类数据，分别为指针域和数据域。指针域为left、right、up、down，分别指向左、右、上、下四个其它结点；数据域则存储一些信息，比如这个结点对应于原始矩阵的行编号rowIdx，列编号colIdx等等。

  原始矩阵中值为“1”的位置对应了一个Dancing Links结点，“0”的位置不是我们需要关心的。

  那么接下来我们来看下，如何将一个矩阵转变为一个十字交叉双向循环链表。我们把Dancing Links结点分成以下四类：总表头head、列首结点col[]、行首结点row[]、元素结点node。

    1) 总表头head：将列首结点col[]在水平方向串联起来，head->right指向矩阵的第一列的列首结点，head->left指向矩阵的最后一列的列首结点。特别的，当这个矩阵为空矩阵，也就是没有任何列时，head->right和head->left指向head本身，这也正是X算法的终止条件。

    2) 列首结点col[]：令初始矩阵的列数为colCount，那么col[i]->right指向col[i+1]，特殊的，col[colCount-1]->right指向head；同理，col[0]->left指向head，其它的col[i]->left指向col[i-1]。col[i]->down和col[i]->up分别指向第i列的第一个“1”和最后一个“1”对应的结点，当col[i]的up和down都指向本身说明这列全是0；

    3) 行首结点row[]：令初始矩阵的行数为rowCount，那么row[i]->up和row[i]->down都是无用指针，直接指向自己即可；row[i]->right和row[i]->left分别指向第i行的第一个“1”和最后一个“1”对应的结点。

    4) 元素结点node：矩阵中“1”对应的结点，up、down指向其它node或列首结点；left、right指向其它node或行首结点。

  如图三-5-1表示了之前的那个矩阵的十字交叉双向循环链表的数据结构表示。所有箭头的左右边界循环相连（上下边界亦循环相连）。每个元素结点代表了原矩阵中的那个“1”，即图中的蓝色方块，其中的数字代表对应内存池中的编号。初始化时，所有的行首结点的左右指针和列首结点的上下指针都指向自己，然后对矩阵进行行、列分别递增的顺序进行读取，读到“1”就执行结点插入操作，这正对应了图中蓝色结点的递增序。别以为这是飞行棋...

图三-5-1

  6、额外结点的意义

  我们发现，图三-5-1中，除了蓝色结点，其它三种结点都是额外的，那么为什么要引入额外结点呢？

  列首结点、行首结点都是存在既有数组中的，所以进行插入操作的时候可以达到O(1)，试想如果只有列首结点没有行首结点，那么插入一个处于(r, c)位置的结点时，c可以定位到列首结点col[c]，在进行对应行的插入时只能遍历竖向链表，插入的时间复杂度就变成O(R)了；同样，如果只有行首结点没有列首结点，那么插入复杂度就是O(C)的。

  列首结点还有一个作用是区分不存在的列和全“0”的列。如果列c在搜索过程中被删除，那么列c的列首结点不会出现在链表结构中；而一个全“0”的列c，列首结点会在链表结构中，并且它的上下指针都指向自己。

  总表头head主要还是为了空矩阵而存在的，试想如果一个矩阵为空，那么势必它的所有列首结点都没有了，那用什么来表示空矩阵呢？引入总表头后，只要总表头的左右指针都指向自己，就代表这是一个空矩阵。

四、Dancing Links X算法的具体实现

  1、结点定义DLXNode

    四类结点都定义为DLXNode，并且除了left、right、up、down四个指针数据外，还需要一些额外信息记录：

    1）对于总表头，不需要额外记录信息；

    2）对于列首结点，需要记录列编号colIdx，该列的结点个数colSum；

    3）对于行首结点，需要记录行编号rowIdx；

    4）对于元素结点，需要记录行编号rowIdx，列首指针colhead；

/*
DLXNode
	left, right        十字交叉双向循环链表的左右指针
	up, down           十字交叉双向循环链表的上下指针

	<用于列首结点>
	colSum             列的结点总数
	colIdx             列的编号
		
	<用于行首结点/元素结点>
	colHead            指向列首结点的指针
	rowIdx             DLXNode结点在原矩阵中的行标号
*/
class DLXNode {
public:
	DLXNode *left, *right, *up, *down;
	union {
		struct {
			DLXNode *colHead;   
			int rowIdx;
		}node;
		struct {
			int colIdx;
			int colSum;
		}col;
	}data;
};

  2、链表定义DLX

    十字交叉双向循环链表对于整个搜索来说，只有一个对象，所以这里采用单例实现。因为结点个数可能很多，所以可以将结点内存放在堆上避免栈溢出，row和col分别代表行首和列首结点，dlx_pool则为元素结点的对象池。可以在构造函数中利用new生成这些动态结点，在析构函数中delete。

/*
DLX （单例）
	head               head 只有左右（left、right）两个指针有效，指向列首
	rowCount, colCount 本次样例矩阵的规模（行列数）
	row[]              行首结点列表
	col[]              列首结点列表
	
	dlx_pool           结点对象池（配合dlx_pool_idx取对象）
*/
class DLX {
	DLXNode *head;             // 总表头
	int rowCount, colCount;    // 本次样例矩阵的规模（行列数） 
	DLXNode *row, *col;        // 行首结点列表 / 列首结点列表
	
	DLXNode *dlx_pool;         // 结点对象池
	int dlx_pool_idx;              // 结点对象池下标
};

	dlx_pool = new DLXNode[MAXR*MAXC];
	col = new DLXNode[MAXC+1];
	row = new DLXNode[MAXR];

  3、初始化

    1)设置本次问题的规模总行数rowCount，总列数colCount，结点对象池下标dlx_pool_idx置零；

    2)初始化列首结点，将总表头head和col[i]在水平方向用left和right指针串联起来，col[i]的up和down指针指向自己，代表这列在矩阵中均为“0”；对于每个列首结点col[i]，将其列编号置为i，列结点总数colSum置零；

    3)初始化行首结点，将行首结点row[i]的四个指针都指向自己，将其行编号rowIdx置为i，对应列首结点的指针置NULL；

  4、结点插入

    按行递增、列递增的方式枚举R×C的矩阵A，如果第r行第c列的值A[r][c] = 1，则插入一个(r, c)的结点：

    1)取出结点对象池中的一个结点Node（注意需要返回指针或者引用）；

    2)取列首结点col[c]，将它设置为Node的列首结点，并且将Node插入到col[c]和col[c]->up之间，将col[c]的结点总数colSum自增1；

    3)取行首结点row[r]，将Node的行编号rowIdx设置为r，并且将Node插入到row[r]和row[r]->left之间；

  5、删列

    删除列c包含两步：

    1)移除列首结点col[c]，这里的移除指只移除水平方向，竖直方向不作任何修改；

    2)从列首结点col[c]往下枚举，将每个元素结点对应的行进行移除（即删行）；

  6、删行

    删除行r的操作只需要修改row[r]上所有元素结点的up和down指针，只移除竖直方向，水平方向不作任何修改；

  7、开始跳舞

    X算法的主体，具体步骤之前已经描述过，现直接给出深度优先搜索的实现如下：

bool DLX::dance(int depth) {
	// 当前矩阵为空，说明找到一个可行解，算法终止 
	if(isEmpty()) {
		resultCount = depth;
		return true;
	}
	DLXNode *minPtr = get_min_col();
	// 删除minPtr指向的列 
	cover(minPtr);
	// minPtr为结点数最少的列，枚举这列上所有的行
	for(DLXNode *p = minPtr->down; p != minPtr; p = p->down) {
		// 令r = p->getRowIdx()，行r放入当前解 
		result[depth] = p->getRowIdx();
		// 行r上的结点对应的列进行删除 
		for(DLXNode *q = p->right; q != p; q = q->right) {
			cover(q->getColHead());
		}
		// 进入搜索树的下一层 
		if(dance(depth+1, maxDepth)) {
			return true;
		}
		// 行r上的结点对应的列进行恢复 
		for(DLXNode *q = p->left; q != p; q = q->left) {
			uncover(q->getColHead());
		}
	}
	// 恢复minPtr指向的列
	uncover(minPtr); 
	return false;
}

  其中cover和uncover对应列的删除和恢复，传入参数为列首结点的指针。

(注：本文结尾会给出Dancing Links X算法的完整代码)

五、精确覆盖的应用

  对于精确覆盖问题有很多变形，但是不变的是都可以转化成01矩阵，并且矩阵的行代表问题的所有情况，矩阵的列代表问题的约束条件。
  1、开关切换问题
  【例题5】N盏灯由M个开关控制（N<=100， M<=100），每个开关可以调出“-”、“0”、“+”三种状态，给出三维01矩阵T[M][N][3]。其中T[i][j][s]=1代表了第i个开关能够在s状态下将第j个灯点亮。特殊的，如果多个开关同时点亮某盏灯，会将它熄灭。求一种方案使得所有灯都被点亮。
  行代表问题的所有情况，列代表问题的约束条件。那么问题的所有情况，即所有开关的所有状态，情况数为3*M（即Dancing Links的01矩阵的每行代表每个开关的其中一种状态）。问题的约束条件有三个，其中第三个是隐含条件：
  1) 一盏灯只能被一个开关控制；
  2) 所有灯都亮起；
  3) 每种开关只能调一种状态；
  那么构建Dancing Links的01矩阵，矩阵前N列代表在这个开关的状态下，对应的灯是否亮起（“1”代表亮，“0”代表不亮）；后M列代表使用了对应的开关，也就是第i个开关代表的三行（因为有三种状态所以是三行）对应的列的值为“1”。
所以总的矩阵规模为3*M行，N+M列的01矩阵，对前N列求一次精确覆盖即可。

图五-1-1

  2、N皇后问题

  【例题6】在一个N×N的棋盘上放置N个皇后(N <= 50)，使得任何两个皇后之间不相互攻击（即同一行、同一列、同一对角线不能有大于1个皇后）。求一种摆放方案。

  经典N皇后问题有构造算法。这里介绍一下将问题转换成精确覆盖后用Dancing Links X求解。 Dancing Links矩阵的 行代表问题的所有情况，列代表问题的约束条件。 每个皇后能够放置的位置总共有N^2种，也就是我们构建的Dancing Links矩阵会有N^2行。

列分为四种约束条件：

   1）列[0, N)       代表了棋盘N行的占据情况

   2）列[N, 2N)      代表了棋盘N列的占据情况

   3）列[2N, 4N-1)    代表了棋盘2N-1条主对角线的占据情况

   4）列[4N-1, 6N-2)  代表了棋盘2N-1条副对角线的占据情况

  所以这是个行N^2，列6N-2的01矩阵。

图五-2-1

  四个约束条件分情况讨论：对于(i,j)的位置，占据的行为i；占据的列为j；主对角线可以通过i和j的相对情况来判断，所有i-j相同的占据的主对角线为N+i-j；副对角线类似，所有i+j相同的位置占据的副对角线为i+j-1；

  枚举所有情况，对每个(i,j)（其中(i,j)属于[1，N]×[1, N]）建立对应的约束条件，就相当于建立了Dancing Links的01矩阵（见图五-2-1）。

  然而，N皇后问题不能直接求精确覆盖，因为我们发现，行和列必须完全覆盖到，但是主和副对角线没有要求一定要全部覆盖，所以我们问题的求解转变成对于这样一个01矩阵，求选出一些行，使得前2N列每列恰有一个“1”（这2N列分别对应行和列的约束条件）。那么也很简单，只需要修改两个地方：

   1）在选择“1”元素最少的列的时候只选择[0,2N)；

   2）如果[0，2N)列中都已经没有“1”可以选择了，那么算法终止；

  以上就是求解N皇后问题的全部过程。

图五-2-2

   【思考题1】在一个N×N的棋盘上放置N个皇后(N <= 50)，使得任何两个皇后之间不相互攻击（即同一行、同一列、同一对角线不能有大于1个皇后），并且有K个皇后已经放置在某些互不攻击的位置，求放置剩余N-K个皇后满足N皇后问题。

（提示：还是精确覆盖问题）

  3、骨牌覆盖问题

  【例题7】给出以下12块骨牌，每个骨牌只能用一次，但是可以旋转或者翻转，要求铺满一个M×N的棋盘，保证M×N = 60。求方案数。如图五-3-2，为3×20的棋盘的其中一种方案。

图五-3-1

图五-3-2

  先来考虑一个简化点的版本，假如每个骨牌无法旋转和翻转，该如何求解？

我们可以将每个骨牌尝试在M×N的棋盘的每个位置都去摆一遍。之前说了Dancing Links矩阵的行代表了问题的所有情况，那么每个骨牌在每个位置都放一遍正好对应了所有的这些情况（估计约60×12=720行）。而列的约束条件，分为两种：

1) 每个格子是否被占据；总共60个格子，即60列；

2) 当前骨牌放置方案用的是哪类骨牌，总共12列；  

对于条件1)每个格子都要被覆盖，对于条件2)每个骨牌都需要用到，于是就转化成了一个720×72的精确覆盖问题。

引入骨牌的翻转/旋转后，只是让矩阵的行数增加，列数不变，即能够摆放的情况数增多了。这里需要注意翻转和旋转后骨牌最多有8（2×4）种情况，但是如果一旦翻转或旋转得到的结果一样的话只能算一种，所以这里可以采用二进制哈希标记每种旋转/翻转状态。如图五-3-3，代表了Dancing Links的矩阵。

图五-3-3

  4、数独问题

【例题8】对于一个N阶的数独，由N^2×N^2个格子组成，如图为一个3阶的数独。要求满足四个限制条件：

1) 每个格子只能填1个数；

2) 每行的数字集合为[1, N^2]，且不能重复；

3) 每列的数字集合为[1, N^2]，且不能重复；

4) 每个“宫”的数字集合为[1, N^2]，且不能重复 （ 其中“宫”的意思就是N×N的格子。对于N=3的情况，就是“九宫格”）；

现在问题是给定一个已经填了一些数字的数独，求当N=3时的一种解,满足以上四个限制条件。

图五-4-1

转变为精确覆盖问题。行代表问题的所有情况，列代表问题的约束条件。 每个格子能够填的数字为[1,9]，并且总共有9×9(即3^2×3^2)个格子，所以总的情况数为729种。也就是DancingLinks的行为729行。

列则分为四种：

1) [0, 81)列  分别对应了81个格子是否被放置了数字。

2) [82, 2*81)列  分别对应了9行，每行[1, 9]个数字的放置情况；

3) [2*81, 3*81)列 分别对应了9列，每列[1, 9]个数字的放置情况；

4) [3*81, 4*81)列 分别对应了9个“宫”，每“宫”[1, 9]个数字的放置情况；

所以总的列数为4*81=324列。如图五-4-2所示。

图五-4-2

  举个例子，对于在数独棋盘的i行j列的格子(i, j)上放置一个数字k，那么对应的Dancing Links的01矩阵行，一行上有四个“1”，分别对应四种约束条件：

    1) 格子限制： 行号*9 + 列号

    2) 行不重复限制： 81 + 行号*9 + (k-1)

    3) 列不重复限制： 2*81 + 列号*9 + (k-1)

    4) “宫”不重复限制：3*81 + 宫号*9 + (k-1)

  行号是i，列号是j，比较好理解；那么宫号我们定义如下图：

图五-4-3

  宫号的计算方式可以通过行号和列号得出。即 宫号 = (i/3)*3 + (j/3)；

  那么构建01矩阵的时候，我们从上到下，从左到右遍历数独，对于在(i, j)上有数字k的只需要插入一行，这行上有四列为“1”。对于没有填写数字的需要枚举[1, 9]，把在(i, j)位置上填[1, 9]的情况都进行插入，一共9行。

  矩阵构建完毕，求一次精确覆盖即可。

   【思考题2】请设计一个四阶的数独的精确覆盖矩阵，并说说和三阶的区别是什么？

六、重复覆盖

  1、重复覆盖的定义

  【例题9】给定一个R×C（R, C <= 50）的01矩阵，问是否存在这样一个行集合，使得集合中每一列至少一个“1”。

  重复覆盖是精确覆盖的一般情况，限制条件远远没有精确覆盖强。回忆一下X的算法思路，我们发现重复覆盖可以参照精确覆盖的方法构建Dancing Links链表，然后枚举行的选取，进而删除该行上有“1”的列，但是仅此而已，无法再删除列对应的行。如图六-1-1所示，选择第一行（红色框），然后删除蓝色的列（试想一下，如果是精确覆盖，我们还可以删除绿色的行），然而重复覆盖无法删除绿色的行，这是因为选取的行集合允许在每列上有多个“1”，如果过多的删除有可能导致可行解的擦肩而过。

图六-1-1

  这样带来的问题就是矩阵规模的下降速度会大大减慢，从而使得搜索的状态空间树十分庞大，这时候往往需要剪枝，在介绍剪枝之前，让我们先来看一个更加复杂的情况。

  【例题10】给定一个R×C（R, C <= 50）的01矩阵，找出最少的行集合，使得集合中每一列至少一个“1”。

为了满足搜索的行数最小这个条件，我们需要引入迭代加深。

  2、迭代加深（IDA*）

迭代加深，顾名思义，就是深度的迭代。即枚举一个最大深度，然后对问题进行搜索，搜索过程记录当前深度，如果当前深度大于最大深度则无条件返回。例如，假设枚举的最大深度为3，那么搜索选取01矩阵的行时最多只能选择3行，当深度大于3深搜函数必须返回。

那么可以枚举深度，然后再进行搜索。

  3、启发式函数

引入最大深度的原因，除了能第一时间找到“最少”，更大程度上是便于启发性剪枝。考虑到当前枚举深度depth，最大枚举深度maxDepth，令K = ()。则在这种情况下，还有K步决策，或者说是只能再最多选择K行，那么如果我们能够设计一个估价函数H()，函数返回的是至少还需要多少行才能完成重复覆盖（这是个估计值，不是确定的）。并且H() > K，则代表当前搜索条件下，头已经不可能搜到可行解了，可以直接返回，使得搜索树的一些分支不需要再进行无谓的搜索，此所谓“剪枝”。
H()函数是一个估计值，并不能精确计算出来（如果能精确计算出来，那问题本身就可以直接用这个函数来计算了），并且这个估计值一定是要比实际值小的，即 实际值 > 估计值H() > K。
H()函数原理：X算法的终止条件是列为空，那么我们现在要做的就是要模拟删除所有的列，这里说的删除并不是真正的删除，而是做一个标记。假设Dancing Links 的01矩阵的列数小于64，那么每一行可以压缩成一个INT64的整型（当然，如果列数大于64的话，可以压缩在一个INT64的数组里，总之目的就是利用位运算减少轮询操作），用R[i]表示第i行的那个64位整数。用一个全局标记X来记录剩下列的模拟删除情况（X的二进制第i位为“1”代表第i列已经被模拟删除）。
H()函数计算过程：任意找一个未被模拟删除的列c，计数器cnt+1，选中列c上有“1”的行r，令X = X or R[r]，依次往复直到不存在这样的列c。最后的计数器cnt就是那个估计值。

  4、引用计数

重复覆盖的时候，每次选择一行，删除行上有“1”的列时，有可能会枚举到已经删除的列，如果已经删除则需要进行标记，但是不能标记为已经“删除”和“未删除”两种状态。因为除了删除，还需要恢复，所以删除的状态其实是有“被删除0次”、“被删除1次”、“被删除2次”、...“被删除N次”这样的多种状态组成的。

正确做法是用一个标记数组D[i]，标记第i列删除的次数。每次执行删除时，标记+1，并且判断标记为1才执行删除；每次执行恢复时，标记-1，并且判断标记为0时才执行恢复。

七、重复覆盖的应用

  1、回顾彩票问题

相信经过前面的解说，彩票那个问题都已经会了，直接转化成01矩阵后，利用IDA*求解重复覆盖即可。

  2、雷达系统

  【例题11】给定N个城市和M个雷达的位置，雷达扫描范围为圆形，半径未知（N,M <= 50）。现在想选出其中K个雷达，覆盖所有的城市，为了节约成本，希望扫描半径最小。求这个最小的扫描半径。

  这个问题非常经典，曾经是百度之星决赛的题目。很容易看出来的是，扫描半径如果无限大，那么必然可以找到K个雷达覆盖所有城市；同理，如果扫描半径为0，那么这件事情就很难办到。雷达覆盖所有城市的概率相对于扫描半径的大小单调递增，换言之，扫描半径越大，雷达覆盖城市越容易。

  于是，我们可以二分枚举这个半径R，然后根据这个半径来建立雷达和城市之间的关系矩阵A。A[i][j]=1当且仅当第i个雷达到第j个城市的距离小于等于R，建立好关系矩阵后，我们发现，现在的问题就是看能不能选择K行（每行代表每个雷达）满足每行上的列都至少有一个“1”（每个列代表每个城市），完美转化成重复覆盖问题。

  3、支配集问题

重复覆盖问题其实是个支配问题，用“行”来支配“列”，任何能够转化为行列关系的问题，都可以转换成重复覆盖问题进行求解。

八、跳舞链相关题集整理

精确覆盖

EasyFinding                      ★★☆☆☆           赤裸精确覆盖

TreasureMap                      ★★☆☆☆           经典精确覆盖

Dominoes                         ★★★☆☆           经典骨牌覆盖

APuzzlingProblem                 ★★☆☆☆           经典骨牌覆盖

NQUEEN                           ★★★☆☆           N皇后问题

Lamp                             ★★★☆☆           精确覆盖

PowerStations                    ★★★☆☆           精确覆盖

数独系列

SudokuKiller                     ★☆☆☆☆           基础题

Su-Su-Sudoku                     ★☆☆☆☆           基础题

Sudoku                           ★☆☆☆☆           基础题

Sudoku                           ★☆☆☆☆           基础题

Sudoku                           ★★☆☆☆           基础题

Sudoku                           ★★☆☆☆           基础题

Sudoku                           ★★☆☆☆           基础题

Sudoku                           ★★★☆☆           有意思的题

Sudoku                           ★★★☆☆           最全的数独题

SquigglySudoku                   ★★★☆☆           数独+连通分量

重复覆盖

神龙的难题                         ★★☆☆☆           基础重复覆盖

whosyourdaddy                    ★★★☆☆           重复覆盖A*基础

Radar                            ★★★☆☆           二分+重复覆盖A*

Bomberman                        ★★★☆☆           重复覆盖A*

RepairDepots                     ★★★★☆           三角形外心+重复覆盖A*

Firestation                      ★★★☆☆           重复覆盖A*

StreetFighter                    ★★★★☆           精确覆盖+重复覆盖

SquareDestroyer                  ★★☆☆☆           古董题

Airport                          ★★☆☆☆           基础重复覆盖A*

ASimpleMathProblem               ★★☆☆☆           重复覆盖+打表

Dancing Links X算法C++代码：DLX完整代码

Dancing Links X算法 解题报告：DLX解题报告