基于栅格地图的粒子群算法_基于粒子群算法的多目标搜索算法
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理论基础
上一篇文章介绍了使用MATLAB中的GADS工具箱解决多目标优化的问题。本文介绍基于粒子群算法的多目标搜索算法。
多目标优化问题求解中最重要的概念是非劣解和非劣解集，两者的定义如下。非劣解(noninferior solution)：在多目标优化问题的可行域中存在一个问题解，若不存在另一个可行解，使得一个解中的目标全部劣于该解，则该解称为多目标优化问题的非劣解。所有非劣解的集合叫做非劣解集(noninferior set)。
在求解实际问题中，过多的非劣解是无法直接应用的，决策者只能选择其中最满意的一个非劣解作为最终。最终解主要有三种方法，第一种是求非劣解的生成法，包括加权法、约束法、加权法和约束法结合的混合法以及多目标遗传算法，即先求出大量的非劣解，构成非劣解的一个子集，然后按照决策者的意图找出最终解。第二种为交互法，主要为求解线性约束多目标优化的Geoffrion法，不先求出很多的非劣解，而是通过分析者与决策者对话的方式，逐步求出最终解。第三种是事先要求决策者提供目标之间的相对重要程度，算法以此为依据，将多目标问题转化为单目标问题进行求解。
目前，采用多目标进化算法求解多目标问题已成为进化计算领域中的一个热门方向，粒子群优化、蚁群算法、人工免疫系统、分布估计算法、协同进化算法、进化算法等一些新的进化算法陆续被用于求解多目标优化问题。本案例采用多目标粒子群算法求解多目标背包问题。
案例分析
假设存在五类物品，每类物品中又包含四种具体物品，现要求从五类物品中分别选择一种物品放入背包，目标为背包内物品总价值最大，总体积最小，并且背包的总质量不超过92kg。背包问题的数学模型如下：
- 算法流程
种群初始化—>适应度计算—>粒子最优更新—>非劣解集更新—>粒子速度和位置更新—>得到支配解集
- 筛选非劣解集
筛选非劣解集主要分为初始筛选非劣解集和更新非劣解集。初始筛选非劣解集是指在粒子初始化后，当一个粒子不受其他粒子支配时，把粒子放入非劣解集中，并且在粒子更新前从非劣解集中随机选择一个粒子作为群体最优粒子。更新非劣解集是指当新粒子不受其他粒子以及当前非劣解集中粒子的支配时，把新粒子放入非劣解集中，并且每次粒子更新前都从非劣解集中随机选择一个粒子作为群体最优粒子。
- 粒子最优
粒子最优包括个体最优粒子和群体最优粒子，其中个体最优粒子的更新方式是从当前新粒子和个体最优粒子中选择支配粒子，当两个粒子都不是支配粒子时，从中随机选择一个粒子作为个体最优粒子。群体最优粒子为从非劣解集中随机选择的一个粒子。
代码实现
- 种群初始化
x=unidrnd(4,xSize,Dim); %粒子初始化
v=zeros(xSize,Dim); %速度初始化
xbest=x; %个体最佳值
gbest=x(1,:); %粒子群最佳位置
%计算初始目标向量
for i=1:xSize
for j=1:Dim %控制类别
px(i) = px(i)+P(x(i,j),j); %粒子价值
rx(i) = rx(i)+R(x(i,j),j); %粒子体积
cx(i) = cx(i)+C(x(i,j),j); %粒子重量
end
end
% 粒子最优位置
pxbest=px;rxbest=rx;cxbest=cx;
- 种群更新
%从非劣解中选择粒子作为全局最优解
s=size(fljx,1);
index=randi(s,1,1);
gbest=fljx(index,:);
%% 群体更新
for i=1:xSize
%速度更新
v(i,:)=w*v(i,:)+c1*rand(1,1)*(xbest(i,:)-x(i,:))+c2*rand(1,1)*(gbest-x(i,:));
%位置更新
x(i,:)=x(i,:)+v(i,:);
x(i,:) = rem(x(i,:),objnum)/double(objnum);
index1=find(x(i,:)<=0);
if ~isempty(index1)
x(i,index1)=rand(size(index1));
end
x(i,:)=ceil(4*x(i,:));
end
- 更新个体最优粒子
for i=1:xSize
%现在的支配原有的，替代原有的
if ((px(i)rxPrior(i))) ||((abs(px(i)-pxPrior(i)) && (rx(i)>rxPrior(i)))||((px(i)weight)
xbest(i,:)=x(i,:);%没有记录目标值
pxbest(i)=pxPrior(i);rxbest(i)=rxPrior(i);cxbest(i)=cxPrior(i);
end
%彼此不受支配，随机决定
if ~( ((px(i)rxPrior(i))) ||((abs(px(i)-pxPrior(i)) && (rx(i)>rxPrior(i)))||((px(i)weight) )...
&& ~( ((pxPrior(i)rx(i))) ||((abs(pxPrior(i)-px(i))rx(i)))...
||((pxPrior(i)weight) )
if rand(1,1)<0.5
xbest(i,:)=x(i,:);
pxbest(i)=pxPrior(i);rxbest(i)=rxPrior(i);cxbest(i)=cxPrior(i);
end
end
end- 非劣解筛选
%% 更新非劣解集合
px=pxPrior;
rx=rxPrior;
cx=cxPrior;
%更新升级非劣解集合
s=size(flj,1);%目前非劣解集合中元素个数
%先将非劣解集合和xbest合并
pppx=zeros(1,s+xSize);
rrrx=zeros(1,s+xSize);
cccx=zeros(1,s+xSize);
pppx(1:xSize)=pxbest;pppx(xSize+1:end)=flj(:,1)';
rrrx(1:xSize)=rxbest;rrrx(xSize+1:end)=flj(:,2)';
cccx(1:xSize)=cxbest;cccx(xSize+1:end)=flj(:,3)';
xxbest=zeros(s+xSize,Dim);
xxbest(1:xSize,:)=xbest;
xxbest(xSize+1:end,:)=fljx;
%筛选非劣解
flj=[];
fljx=[];
k=0;
tol=1e-7;
for i=1:xSize+s
flag=0;%没有被支配
%判断该点是否非劣
for j=1:xSize+s
if j~=i
if ((pppx(i)j)) && (rrrx(i)>rrrx(j))) ||((abs(pppx(i)-pppx(j)) && (rrrx(i)>rrrx(j)))||((pppx(i)j)) && (abs(rrrx(i)-rrrx(j)) || (cccx(i)>weight) %有一次被支配
flag=1;break;endendend%判断有无被支配if flag==0
k=k+1;
flj(k,1)=pppx(i);flj(k,2)=rrrx(i);flj(k,3)=cccx(i);%记录非劣解
fljx(k,:)=xxbest(i,:);%非劣解位置endend仿真结果
粒子群算法中，粒子个数为50，迭代次数为200，得到的非劣解在目标空间中的分布如下。
且算法搜索到的非劣解构成了Pareto面，算法搜索取得了很好的效果。