【PY】多项式拟合与样条插值（以及积分）

问题的提出

昨天打算处理叶尖泄漏流动量的，参考GT2017-63655，单位轴向弦长的轴向动量（the tip leakage flow axial momentum per unit axial chord）如下式定义：

image.png

式子里各个参数我都可以通过输出间隙中间平面的参数来得到，然后乘除之后做一个积分。
那么首先我要弄清楚这个平面上的数据结构

面上的数据结构

间隙中间平面的网格，可以认为是一个长的矩形网格，如图：

image.png

然后利用Post中的Export之后，选择这个面，选择要输出的物理量，就得到一个csv文件。

1. 间隙网格配置
   径向方向上17个点，弦向方向上是44个点，所以一共有17*44=748个数据点。
2. 数据点的排布
   csv文件中也同样给了748个数据点，那么这些数据点是怎么排布的呢？
   • 是输出相同轴向位置上的17个径向点，然后再移动到下一个轴向位置输出
   • 且先输出尾缘，再逐渐前移
   • 径向方向上则是从tip到casing的顺序，如果用叶高来表达是98%-100%叶高
   • P.S. 有个地方需要注意的是，输出的头34个数据，就是尾缘位置处，两组相近的17个数据重叠在一起，跟后面的规律不一样，所以头34个数据先不用

积分的问题

那么首先我就要对某个轴向位置上的17个径向点进行积分
积分应该怎么做呢，照理说积分其实就是相加，但是有问题：

• 径向点数少，只有17个
• 分布很不均匀（近壁面加密）
• 我还想做不同叶高范围的动量对比，如果按照径向高度来分，中间33%的区域只有三四个点

那么应该怎么做？想了想其实也好解决，而且应该也是更合理的做法：

• 把我17个离散的数据拟合或插值，得到径向方向上n多数据，然后就可以方便的积分了，结果肯定比我用17个点做出来的要精确的多

多项式拟合

我一开始用的是多项式拟合，用numpy里的polyfit，其实很简单：

import numpy as np
coeffs = np.polyfit(x, y, degree)
p = np.poly1d(coeffs)

说明：

1. 把离散的x和y数据导入，然后用polyfit一处理，degree是你要用几次多项式来拟合，这样就会得到一个coeffs的list，这是多项式前的系数
2. 比如f=ax³ + bx² + cx³ +d，那么coeffts就是[a,b,c,d]
3. 然后再用poly1d的命令， p就等于ax³ + bx² + cx³ +d了
4. 也就是你比如再弄一个xnew = np.arange(0,1,1000)
   那么的ynew=p(xnew)，这就是拟合之后0-1范围内的x和y的值了

问题：

1. 拟合效果不好，于是还是用了样条插值，这样不管能不能用拟合，效果都不错

样条插值

样条插值的做法也很简单：

from scipy import interpolate 
tck = interpolate.splrep(x, y) #需要先使用splrep函数计算出B-Spline曲线的参数
x_new = np.linspace(min(x), max(x), 10000)
y_bspline = interpolate.splev(x_new, tck) #将参数传递给splev函数计算出各个取样点的插值结果

说明：

1. 就是这样，先import插值的命令
2. 然后先用splrep计算出b样条曲线的参数tck
3. 然后再将参数传递给splev函数计算出各取样点的插值结果
   这样得到的结果就很美啦

image.png

这样我在98-100%的间隙范围内就可以去对低、中、高三个范围进行积分了。当然，要先把数据准备好的

对各个轴向位置的径向17个点进行积分，就得到泄漏流动量沿着弦向方向的44个点，如果要积分得到总的动量，就再进行插值和积分的步骤。

积分

1. trapz
   积分使用的是trapz的命令
   trapz其实是trapezoid的缩写，也就是梯形
   就是梯形法数值积分，也就是一个个矩形块的面积相加吧
   应用起来也非常简单

res = np.trapz(y_bspline,x_new)

在b样条处理中得到的y值和x值，用这个命令已处理，就能得到积分结果了
积分的精确度当然是和x_new的分隔挂钩的，分得区间越多积分越精确。

2. quad
   此外，还有quad的命令， 这个精度比trapz搞，但是需要精确表达式
   例如：

from scipy import integrate
def half_circle(x): 
  return (1-x**2)**0.5
pi_half, err = integrate.quad(half_circle, -1, 1)

half_circle是圆面积的表达式，后面的两个参数-1和1是积分的范围
quad运行之后得到一个结果和一个误差，所以最后一句里还有个err