三维空间中两直线的最短距离及最近点

方法1：

• 已知空间中两直线AB, CD，判断它们是否相交

     问题的关键是求出这两条直线之间的最短距离，以及在这个距离上最接近两线的点坐标，判断该点是否在直线AB和直线CD上。

     首先将直线方程化为对称式，分别得到两直线方向向量AB=（x1,y1,z1), CD=(x2,y2,z2)，
再将两向量AB, CD叉乘得到其公垂向量N=（x,y,z）,在AB, CD两直线上分别选取点E,F(任意)，得到向量M，求向量M在向量N方向的投影即为两异面直线间的距离了（就是最短距离啦）。

     最短距离的求法：d=|向量N向量M|/|向量N|（上面是两向量的数量积，下面是取模）。*
设两直线与距离的交点分别为S,T，可带入公垂线N的对称式中得到第一个方程，又因为S,T两点分别满足直线AB和CD的方程，所以得到关于S（或T）的第二个方程，联立两个方程分别解出来即可！

方法2：

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2.jpg

#include
#include

using namespace std;

struct Point
{
    double x, y, z;
    Point(double x = 0, double y = 0, double z = 0) : x(x), y(y), z(z) {}
};
typedef Point Vector;

Vector operator + (Vector a, Vector b)
{
    return Vector(a.x + b.x, a.y + b.y, a.z + b.z);
};
Vector operator - (Vector a, Vector b)
{
    return Vector(a.x - b.x, a.y - b.y, a.z - b.z);
};
Vector operator * (Vector a, double p)
{
    return Vector(a.x * p, a.y * p, a.z * p);
}
Vector operator / (Vector a, double p)
{
    return Vector(a.x / p, a.y / p, a.z / p);
}

double Dot(Vector a, Vector b)
{
    return a.x * b.x + a.y * b.y + a.z * b.z;
}
double Length(Vector a)
{
    return sqrt(Dot(a, a));
}
Vector Cross(Point a, Point b)
{
    return Vector(a.y * b.z - a.z * b.y, a.z * b.x - a.x * b.z, a.x * b.y - a.y * b.x);
}

Point a1, b1, a2, b2;
int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while(n--)
    {
        scanf("%lf%lf%lf", &a1.x, &a1.y, &a1.z);
        scanf("%lf%lf%lf", &b1.x, &b1.y, &b1.z);
        scanf("%lf%lf%lf", &a2.x, &a2.y, &a2.z);
        scanf("%lf%lf%lf", &b2.x, &b2.y, &b2.z);
        Vector v1 = (a1 - b1), v2 = (a2 - b2);
        Vector N = Cross(v1, v2);
        Vector ab = (a1 - a2);
        double ans = Dot(N, ab) / Length(N);
        Point p1 = a1, p2 = a2;
        Vector d1 = b1 - a1, d2 = b2 - a2;
        Point ans1, ans2;
        double t1, t2;
        t1 = Dot((Cross(p2 - p1, d2)), Cross(d1, d2));
        t2 = Dot((Cross(p2 - p1, d1)), Cross(d1, d2));
        double dd = Length((Cross(d1, d2)));
        t1 /= dd * dd;
        t2 /= dd * dd;
        ans1 = (a1 + (b1 - a1) * t1);
        ans2 = (a2 + (b2 - a2) * t2);
        printf("%.6f\n", fabs(ans));
        printf("%.6f %.6f %.6f ", ans1.x, ans1.y, ans1.z);
        printf("%.6f %.6f %.6f\n", ans2.x, ans2.y, ans2.z);
    }
    return 0;
}

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