第20章 不要把鸡蛋放在一个篮子里

以下内容学习、摘录自《数学之美》

在信息处理中，我们常常知道各种各样但又不完全确定的信息，我们需要用一个统一的模型将这些信息综合起来。如何综合得好，是一门很大的学问。

“最大熵”这个名词听起来很深奥，但它的原理很简单，我们每天都在用。说白了，就是要保留全部的不确定性将风险降到最小。

下面来看一个实际的例子：对于“骰子每个面朝上的概率分别是多少？”，所有人都说是等概率，即各种点数的概率均为1/6。因为对这个“一无所知”的骰子，假定它每一个朝上的概率均等是最安全的做法。从投资的角度看，这就是风险最小的做法。从信息论的角度来讲，就是保留了最大的不确定性，也就是说让熵达到最大。

最大熵原理指出，对一个随机事件的概率分布进行预测时，我们的预测应当满足全部已知的条件，而对未知的情况不要做任何主观假设。（不做主观假设这点很重要。）在这种情况下，概率分布最均匀，预测的风险最小。因为这时概率分布的信息熵最大，所以人们把这种模型叫做“最大熵模型”。我们常说，不要把所有的鸡蛋放在一个篮子里，其实就是最大熵原理的一个朴素的说法，因为当我们遇到不确定性时，就要保留各种可能性。

匈牙利著名数学家、信息论最高奖香农奖得主西萨（I. Csiszar）证明，对任何一组不自相矛盾的信息，这个最大熵模型不仅存在，而且是唯一的。此外，它们都有同一个非常简单的形式——指数函数。

最大熵模型在形式上是最漂亮、最完美的统计模型，在自然语言处理和金融方面有很多有趣的应用。早期，由于最大熵模型计算量大，科学家们一般采用一些类似最大熵模型的近似模型。谁知这一近似，最大熵模型就从完美变得不完美了。结果可想而知，比打补丁的凑合的方法也好不了多少。于是，不少原来热衷于此的学者又放弃了这种方法。第一个在实际信息处理应用中验证了最大熵模型的优势的是宾夕法尼亚大学马库斯教授的高徒拉纳帕提（ Adwait Ratnaparkhi），原IBM和微软的研究员、现任 Naunce的科学家。拉纳帕提的聪明之处在于他没有对最大熵模型进行近似处理，而是找到了几个最适合用最大熵模型而计算量相对不太大的自然语言处理问题，比如词性标注和句法分析。拉纳帕提成功地将上下文信息、词性（名词、动词和形容词）以及主谓宾等句子成分，通过最大熵模型结合起来，做出了当时世界上最好的词性标识系统和句法分析器。拉纳帕提的论文让人们耳目一新。拉纳帕提的词性标注系统，至今仍然是使用单一方法的系统中效果最好的。从拉纳帕提的成果中，科学家们又看到了用最大熵模型解决复杂的文字信息处理问题的希望。

在2000年前后，由于计算机速度的提升以及训练算法的改进，很多复杂的间题，包括句法分析、语言模型和机器翻译都可以采用最大熵模型了。最大熵模型和一些简单组合了特征的模型相比，效果可以提升几个百分点。对于那些不是很看重产品质量的人和公司来讲。这几个百分点或许不足以给使用者带来明显的感受，但是如果投资的收益能增长哪怕百分之一，获得的利润也是数以亿计的。因此，华尔街向来最喜欢使用新技术来提高他们交易的收益。而证券（股票、债券等）的交易需要考虑非常多的复杂因素，因此，很多对冲基金开始使用最大熵模型，并且取得了很好的效果。

最原始的最大熵模型的训练方法是一种称为通用选代算法GIS（ Generalized Iterative Scaling）的选代算法。GIS的原理并不复杂，大致可以概括为以下几个步骤：
1.假定第零次迭代的初始模型为等概率的均匀分布。
2.用第N次迭代的模型来估算每种信息特征在训练数据中的分布。如果超过了实际的，就把相应的模型参数变小。否则，将它们变大
3.重复步骤2，直到收敛。

上个世纪80年代，天赋异禀的达拉·皮垂孪生兄弟（ Della pietra）在IBM对GIS算法做了两方面改进，提出了改进迭代算法IIS（ Improved Iterative Scaling）。这使得最大熵模型的训练时间缩短了一到两个数量级。这样，最大熵模型才有可能变得实用。即使如此，在当时也只有IBM有条件使用最大熵模型。因此，最大熵模型的计算量仍然是个拦路虎。

后来，作者吴军在约翰·霍普金斯大学读博士时发现有一种数学变换，可以将大部分最大熵模型的训练时间在IIS的基础上减少两个数量级。尽管如此，用了20台当时最快的SUN工作站，仍然计算了三个月。最大熵模型的复杂可见一斑。最大熵模型快速算法的实现很复杂。到今天为止，世界上能有效实现这些算法的也不到一百人。

讲到这里，读者也许会问，当年最早改进最大熵模型算法的达拉·皮垂兄弟这些年难道没有做任何事吗？在上个世纪90年代初贾里尼克离开IBM后，他们也退出了学术界，而到金融界大显身手。他们两人和很多IBM做语音识别的同事一同到了一家当时还不大，但现在是世界上最成功的对冲基金（ Hedge Fund）公司—文艺复兴技术公司（Renanaissance Technologies）。我们知道，决定股票涨跌的因素可能有几十甚至上百种而最大熵方法恰恰能找到一个同时满足成千上万种不同条件的模型。在那里，达拉·皮垂兄弟等科学家用最大熵模型和其他一些先进的数学工具对股票进行预测，获得了巨大的成功。从1988年创立至今，该基金的净回报率高达平均每年34%。也就是说，如果1988年你在该基金投入块钱，20年后的2008年你能得到200多块钱。这个业绩，远远超过股神巴菲特的旗舰公司伯克希尔·哈撒韦（ Berkshire Hathaway）。同期，伯克希尔·哈撒韦的总回报是16倍。而在出现金融危机的2008年，全球股市暴跌，文艺复兴技术公司的回报率却高达80%，可见数学模型的厉害。

最大熵模型可以将各种信息整合到一个统一的模型中。它有很多良好的特性：从形式上看，它非常简单，非常优美；从效果上看，它是唯一一种既能满足各个信息源的限制条件，又能保证平滑性（ Smooth）的模型。由于最大熵模型具有这些良好的特性，因此应用范围十分广泛。但是，最大熵模型计算量巨大，在工程上实现方法的好坏决定了模型的实用与否。

点击这里可以查看《数学之美》的其它学习笔记。