python 数据、曲线平滑处理——方法总结(Savitzky-Golay 滤波器、make_interp_spline插值法和convolve滑动平均滤波)

问题描述：

在寻找曲线的波峰、波谷时，由于数据帧数多的原因，导致生成的曲线图噪声很大，不易寻找规律。如下图：

由于高频某些点的波动导致高频曲线非常难看，为了降低噪声干扰，需要对曲线做平滑处理，让曲线过渡更平滑。常见的对曲线进行平滑处理的方法包括： Savitzky-Golay 滤波器、插值法等。

Savitzky-Golay 滤波器实现曲线平滑

对曲线进行平滑处理，通过Savitzky-Golay 滤波器，可以在scipy库里直接调用，不需要再定义函数。

代码语法：

python中Savitzky-Golay滤波器调用如下：

y_smooth = scipy.signal.savgol_filter(y,53,3)  
# 亦或
y_smooth2 = savgol_filter(y, 99, 1, mode= 'nearest')

# 备注：
y：代表曲线点坐标（x,y）中的y值数组
window_length：窗口长度，该值需为正奇整数。例如：此处取值53
k值：polyorder为对窗口内的数据点进行k阶多项式拟合，k的值需要小于window_length。例如：此处取值3
mode：确定了要应用滤波器的填充信号的扩展类型。（This determines the type of extension to use for the padded signal to which the filter is applied. ）

调参规律：

现在看一下window_length和k这两个值对曲线的影响。

（1）window_length对曲线的平滑作用： window_length的值越小，曲线越贴近真实曲线；window_length值越大，平滑效果越厉害（备注：该值必须为正奇整数）。

（2）k值对曲线的平滑作用： k值越大，曲线越贴近真实曲线；k值越小，曲线平滑越厉害。另外，当k值较大时，受窗口长度限制，拟合会出现问题，高频曲线会变成直线。

典型范例：

# 用于生成问题描述中示例曲线的代码如下：
import numpy as np

Size = 100
x = np.linspace(1, Size,Size)

data = np.random.randint(1, Size, Size)
print(data)
>>>
array([33, 19,  2, 56, 11, 38,  3, 45,  4, 20, 59,  3, 71, 94, 85, 23, 93,
       65, 23, 99, 38, 43, 41, 96, 46, 56, 79,  1, 38, 90, 97, 88,  2, 72,
       25, 51, 70, 42,  4, 86, 26, 44, 40, 49,  5, 37, 10, 99, 40, 88, 34,
       99, 26,  6, 20, 37, 22, 88, 13, 68, 54, 95, 15,  4, 58, 20, 51, 89,
       81,  1, 41, 21, 17, 52, 84, 46, 76, 44, 90, 72, 96, 32, 12, 50, 81,
       64, 67, 99, 42, 35, 70, 79, 21, 51, 56, 10, 23, 21, 25, 64])
      
# 可视化图线
plt.plot(x, data)

# 使用Savitzky-Golay 滤波器后得到平滑图线
from scipy.signal import savgol_filter

y = savgol_filter(data, 5, 3, mode= 'nearest')
# 可视化图线
plt.plot(x, y, 'b', label = 'savgol')

下图所示为经过Savitzky-Golay 滤波器处理的示例曲线效果图：

原理剖析：

在scipy官方帮助文档里可以看到关于Savitzky-Golay 滤波器中关于savgol_filter()函数的详细说明。

以下是关于Savitzky-Golay平滑滤波的简单介绍（引至博客：Python 生成曲线进行快速平滑处理）：

Savitzky-Golay平滑滤波是光谱预处理中的常用滤波方法，其 核心思想：是对一定长度窗口内的数据点进行k阶多项式拟合，从而得到拟合后的结果。 对它进行离散化处理后，Ｓ-Ｇ 滤波其实是一种移动窗口的加权平均算法，但是其加权系数不是简单的常数窗口，而是通过在滑动窗口内对给定高阶多项式的最小二乘拟合得出。

Savitzky-Golay平滑滤波被广泛地运用于数据流平滑除噪，是一种在时域内基于局域多项式最小二乘法拟合的滤波方法。这种滤波器的 最大特点：在滤除噪声的同时可以确保信号的形状、宽度不变。

使用平滑滤波器对信号滤波时，实际上是拟合了信号中的低频成分，而将高频成分平滑出去了。 如果噪声在高频端，那么滤波的结果就是去除了噪声，反之，若噪声在低频段，那么滤波的结果就是留下了噪声。

总之，平滑滤波是光谱分析中常用的预处理方法之一。用Savitzky-Golay方法进行平滑滤波，可以提高光谱的平滑性，并降低噪音的干扰。S-G平滑滤波的效果，随着选取窗宽不同而不同，可以满足多种不同场合的需求。

参考链接：Savitzky-Golay平滑滤波的python实现

插值法对折线进行平滑曲线处理

实现所需的库： numpy、scipy、matplotlib

插值法的常见实现方法：

• nearest：最邻近插值法
• zero：阶梯插值
• slinear：线性插值
• quadratic、cubic：2、3阶B样条曲线插值

拟合和插值的区别：

1、插值：简单来说，插值就是根据原有数据进行填充，最后生成的曲线一定过原有点。

2拟合：拟合是通过原有数据，调整曲线系数，使得曲线与已知点集的差别（最小二乘）最小，最后生成的曲线不一定经过原有点。

代码语法：

通过执行from scipy.interpolate import make_interp_spline，导入make_interp_spline模块，之后调用make_interp_spline(x, y)(x_smooth)函数实现。

官方帮助文档：scipy.interpolate.make_interp_spline

典型范例：

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from scipy.interpolate import make_interp_spline

x = np.array([6, 7, 8, 9, 10, 11, 12])
y = np.array([1.53E+03, 5.92E+02, 2.04E+02, 7.24E+01, 2.72E+01, 1.10E+01, 4.70E+00])
x_smooth = np.linspace(x.min(), x.max(), 300)  # np.linspace 等差数列,从x.min()到x.max()生成300个数，便于后续插值
y_smooth = make_interp_spline(x, y)(x_smooth)
plt.plot(x_smooth, y_smooth)
plt.show()

上述执行代码的效果如下：

参考链接：python利用插值法对折线进行平滑曲线处理

基于Numpy.convolve实现滑动平均滤波

滑动平均概念：

滑动平均滤波法 （又称：递推平均滤波法），它把连续取N个采样值看成一个队列 ，队列的长度固定为N ，每次采样到一个新数据放入队尾，并扔掉原来队首的一次数据(先进先出原则) 。把队列中的N个数据进行算术平均运算，就可获得新的滤波结果。

N值的选取：流量，N=12；压力：N=4；液面，N=4 ~ 12；温度，N=1~4

滑动平均的优缺点：

优点： 对周期性干扰有良好的抑制作用，平滑度高，适用于高频振荡的系统。

缺点： 灵敏度低，对偶然出现的脉冲性干扰的抑制作用较差，不易消除由于脉冲干扰所引起的采样值偏差，不适用于脉冲干扰比较严重的场合，比较浪费RAM 。

滑动平均的数学原理：

滑动平均滤波法计算类似一维卷积的工作原理，滑动平均的N就对应一维卷积核大小（长度）。 不过区别在于：

（1）步长会有些区别，滑动平均滤波法滑动步长为1，而一维卷积步长可以自定义；
（2）一维卷积的核参数是需要更新迭代的，而滑动平均滤波法核参数都是1。

我们应该怎么利用这个相似性呢？其实也很简单，只需要把一维卷积核大小（长度）和N相等，步长设置为1，核参数都初始为1就可以了。由于一维卷积计算速度快，因此我们可以使用一维卷积来快速高效地实现这个功能。

代码语法：

通过Numpy库中的convolve()函数可以实现这些功能。

def np_move_avg(a,n,mode="same"):
    return(np.convolve(a, np.ones((n,))/n, mode=mode))

Numpy.convolve函数：（numpy.convolve函数官方文档）

numpy.convolve(a, v, mode=‘full’)  # 返回a和v的离散线性卷积。

参数说明：

• a:(N,)输入的第一个一维数组
• v:(M,)输入的第二个一维数组
• mode:{‘full’, ‘valid’, ‘same’}参数可选，该参数指定np.convolve函数如何处理边缘。

mode可能的三种取值情况：
full’　默认值，返回每一个卷积值，长度是N+M-1,在卷积的边缘处，信号不重叠，存在边际效应。
‘same’　返回的数组长度为max(M, N),边际效应依旧存在。
‘valid’ 　返回的数组长度为max(M,N)-min(M,N)+1,此时返回的是完全重叠的点。边缘的点无效。

和一维卷积参数类似，a就是被卷积数据，v是卷积核大小。

原理剖析：

滑动平均值是卷积数学运算的一个例子。对于滑动平均值，沿着输入滑动窗口并计算窗口内容的平均值。对于离散的1D信号，卷积是相同的，除了代替计算任意线性组合的平均值，即将每个元素乘以相应的系数并将结果相加。那些系数，一个用于窗口中的每个位置，有时称为卷积核。现在，N值的算术平均值是$(x_1+x_2+...+x_N)/N$，所以相应的内核是$(1/N,1/N,...,1/N)$，这正是我们通过使用得到的np.ones((N,))/N。

np.convolve函数中通过mode参数指定如何处理边缘。下面是一个说明模式不同取值之间差异的图：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
def np_move_avg(a,n,mode="same"):
    return(np.convolve(a, np.ones((n,))/n, mode=mode))
 
modes = ['full', 'same', 'valid']

for m in modes:
    plt.plot(np_move_avg(np.ones((200,)), 50, mode=m))
 

plt.axis([-10, 251, -.1, 1.1])
 
plt.legend(modes, loc='lower center')
 
plt.show()

参考链接：
[开发技巧]·Python极简实现滑动平均滤波（基于Numpy.convolve）
numpy中的convolve的理解

典型范例：

# 实现数据可视化中的数据平滑
import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt
 
'''
其它的一些知识点：
raise：当程序发生错误，python将自动引发异常，也可以通过raise显示的引发异常
一旦执行了raise语句，raise语句后面的语句将不能执行
'''
 
def moving_average(interval, windowsize):
    window = np.ones(int(windowsize)) / float(windowsize)
    re = np.convolve(interval, window, 'same')
    return re
 
def LabberRing():
    t = np.linspace(-4, 4, 100)   # np.linspace 等差数列,从-4到4生成100个数
    print('t=', t)
 # np.random.randn 标准正态分布的随机数，np.random.rand 随机样本数值
    y = np.sin(t) + np.random.randn(len(t)) * 0.1   # 标准正态分布中返回1个，或者多个样本值
    print('y=', y)
    
    plt.plot(t, y, 'k')     # plot(横坐标，纵坐标， 颜色)
    
    y_av = moving_average(y, 10)
    plt.plot(t, y_av, 'b')
    plt.xlabel('Time')
    plt.ylabel('Value')
    # plt.grid()网格线设置
    plt.grid(True)
    plt.show()
    return
 
LabberRing()  # 调用函数

黑色曲线为原始折线，蓝色曲线为通过np.convolve函数进行平滑处理后的曲线效果。

参考链接：数据可视化中的数据平滑

数据平滑处理——log()和exp()函数

log()函数的使用就像是将一个数据压缩到了一个区间，与数据的标准化类似。

在数据预处理时，引入log()函数的优点：

1、在数据预处理时首先可以对偏度比较大的数据用log()函数进行转化，使其更加服从高斯分布，此步处理可能会使我们后续的分类结果得到一个更好的结果。

2、在数据、曲线平滑处理时，同样需要使用log()函数，从而避免复值的问题 ，否则，将导致模型的结果总是达不到一定的标准。（备注： 复值指一个自变量对应多个因变量）

下面再说说它的 逆运算 exp()函数。

由于前面使用过log()将数据进行了压缩，所以最后需要记得将预测出的平滑数据进行一个还原，而还原过程就是log()函数的逆运算exp()函数。

常用的数学表达式：
$$log1p=log(x+1)即：ln(x+1)$$
$$expm1=exp(x)-1$$

log1p函数有它存在的意义，即保证了x数据的有效性，当x很小时（如 两个数值相减后得到$x=10^{-16}$），由于太小超过数值有效性，用$log(x+1)$计算得到结果为0，换作log1p则计算得到一个很小却不为0的结果，这便是它的意义（好像是用泰勒公式来展开运算的，不确定）。
同样的道理对于expm1，当x特别小，就会急剧下降出现如上问题，甚至出现错误值。
在最开始看到这样的处理方式的时候，不是很理解包括为什么是逆运算（一下子没有想到），后来慢慢摸索就优点清晰了，比如为什么两这是逆运算（简单处理）：
$logx$是e为底的对数，$e^x$是e为底的指数，根据对数的规则，再进行变换推导可以得到：$$e^{lo{g}_e^x}=x$$
可以看到x经过对数的处理后，再经过指数处理再次得到x，这里对两者的逆运算做了简单的介绍。

另外RMSLE（均方根对数误差）会更多的惩罚欠拟合，所以在使用该误差定义时我们也可以用到上面的函数：
np.loglp计算加一后的对数，其逆运算是np.expm1；
采用此误差函数时，可以先对原始数据做np.log1p，再使用RMSE。

参考链接：数据平滑处理——log1p()和exmp1()