使用牛顿迭代法求解非线性方程的根

牛顿法是一种近似求解非线性方程根的迭代算法。本文简要叙述该算法并使用MATLAB实现该算法求解一元非线性方程和多元非线性方程组。

算法简述

一般非线性方程组的根通常无法直接求解，因此需要使用如牛顿法一类的迭代算法求近似解（数值解）。一维牛顿迭代法求解形如 f(x) =0 的根，算法如下:

• 选取一个接近函数零点的自变量 x 值作为起始点
• 使用如下的迭代公式更新近似解

• 如果得出的解满足误差要求，终止迭代，所得的值即视为方根根的近似解

一维牛顿法实例

使用牛顿迭代法近似求解如下方程在 [-1, 1]之间的根：

我们可以使用匿名函数 (anonymous function)来定义函数及其导数：

f = @(x) cos(x) - x.^3; %定义函数f(x)
f_prime = @(x) - sin(x) - 3*x.^2; %定义函数的导数

这里我们可以使用 while 循环来实现，终止条件设为相对误差小于1e-8。

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f = @(x) cos(x) -x.^3;
f_prime = @(x) -sin(x) -3*x.^2;

error = 1;    %初始化误差变量
iter = 0;     %初始化迭代次数变量 
max_iter = 5000; %定义最大允许迭代次数
tol = 1e-8; %定义循环终止误差
x0 = 0.5; %初始值

while error > tol && iter <= max_iter
    x = x0 - f(x0)/f_prime(x0); %更新x的值
    error = abs((x-x0)/x0);  %计算相对误差
    iter = iter +1;  %更新迭代次数
    x0 = x; %计算出的x赋值给x0，继续迭代，直到达到误差条件。
end

一般情况下，牛顿迭代法收敛很快 (quadratic convergence)，对于本例中的函数，几次迭代即可得到近似解。

>> x
x =
   0.865474033101614
>> iter
iter =
     6