行阶梯形

行阶梯形

当方程组无法化为严格三角形时，或许我们可以将其化为行阶梯型。最终得到的系数矩阵不是严格三角形，而是行阶梯形。系数矩阵的水平和垂直线段说明了系数矩阵的阶梯形式。注意，每一步在垂直方向降1，但在水平方向的扩展可能会多于1。

首变量与自由变量

增广矩阵每一行的第一恶非零元对应的变量为首变量，在化简过程中跳过的列对应的变量为自由变量，首变量可以用自由变量来表示，对于每一对给定的自由变量，均存在唯一解。

行阶梯形矩阵

定义：若一个矩阵满足
（1）每一非零行中的第一个非零元为1；
（2）第k行的元不全为0时，第k+1行首变量之前零的个数多于第k行首变量之前零的个数
（3）所有元素均为零的行必在不全为0的行之后

高斯消元法

将线性方程组的增广矩阵化为行阶梯形的过程称为高斯消元法

行阶梯形的唯一解

若方程组相容且行阶梯形矩阵的非零行构成了严格三角形方程组，则这个方程组具有唯一解。

超定方程组

若一个线性方程组中方程的个数（m）多于未知量的个数(n)，则称其为超定的，超定方程组通常（但不总是）是不相容的。
（1）若化简后矩阵的非零行构成了一个严格三角形方程组，故解唯一
（2）若化简后得我方程组存在自由变量，则方程组相容且解有无数多个。

亚定方程组

（1）若线性方程组未知量的个数（n）多于方程的个数（m）,（m）则称方程组是亚定的。
（2）亚定方程组有可能不相容，但通常是相容的。
（3）亚定方程组若相容，则一定是无穷多解而不可能只有唯一解。因为系数矩阵的行阶梯形式均有r<=m个非零行，则必有r个首变量和n-r个自由变量。

行最简形

当相容的方程组对应的行阶梯形中含有自由变量时，可继续进行消元过程，直到所有首变量1之上的所有元均被消去，得到的结果矩阵为行最简形的。
定义：
若一个矩阵满足
（1）矩阵是行阶梯形的
（2）每一行的第一个非零元是该列唯一的非零元。
则称该矩阵是行最简形的。
采用基本行运算将矩阵化为行最简形的过程称为高斯-若尔当消元法。

齐次方程组

线性方程组的右端项全为0；齐次方程组总是相容的，所有变量全为0就是它的一个解，所以，如果m*n齐次方程组有唯一解，则必然是其平凡解（0，0，0，…0）。当n>m时，总是存在自由变量，因此方程组存在非平凡解。
定理
若n>m,则m * n齐次方程组具有非平凡解。