我们喜欢把一些类似的事物归到一类中去，我们把这一类叫做一个集合。
集合X与集合Y之间会出现两个或两个以上的元素有对应关系（X.x->Y.y），我们把这个关系叫做映射。（对应法则不同而产生的满射，单射，双射，方向的不同产生的逆射，集合之间的嵌套产生的复合映射）
产生对应关系的元素所属范围不同，对应关系的性质也不同，我们把实数元素到实数元素的映射叫做函数。（有界，单调，奇偶，周期）
一个集合中的所有数按照某一特定形式按序排列，我们把这个集合叫做一个数列。
我们把数列中的元素的特定形式叫做一般式。
数列中数字按序排列，当数字无穷多时，如果它们实际上都是在趋近（左右趋近）于某一个数值，那么把这个数列叫做收敛数列，否则叫做发散数列。
（收敛数列：唯一，有界，保号，与其子数列关系）
上句提到的，那个数值就是该数列的极限值也叫做极限。
（极限：动词，它表示的是某一个量在无限量或某一个变化的过程中所接近的数值）
对于多个集合而言，一个集合的变量的变化（X.x）也会引起另一个集合的变量的变化（Y.y）甚至更多集合的变量的变化，这里只讨论两个集合，X.x变化引起了Y.y的变化，不同于数列，函数把b趋近于的某一个值作为函数的极限。
（X.x无穷大或者趋近于x0（左右趋近）来研究Y.y的变化）
（函数：唯一，局部有界，局部保号，*，函数极限与数列极限关系）
函数的极限为0，则把函数叫做在某一个变化过程中的无穷小，如果极限无穷大，则称为无穷大。
（在某一个变化过程中，函数具有极限的充要条件）（在某一变化过程中，无穷大与无穷小的关系）
极限的运算（有限个无穷小之和，有界与无穷小之积，两个函数的极限和差积商，两个数列的极限和差积商，两个函数的大小与极限大小的关系，复合函数的极限运算）
两个重要极限
极限存在准则（夹逼准则，单调有界是数列极限存在的充分条件，柯西准则（给出数列收敛的充要条件））
函数的极限可以根据数字之间的关系来进行运算，不同函数之间的和差积商可以根据等价无穷小化简运算步骤（β是α的等价无穷小的充要条件，等价替换原则）
X.x变化很小时，Y.y也变化很小，则把这个特性叫做函数连续。我们通常说函数在某一个点上连续。
x0上函数不连续的，叫间断点。
两个在x0上连续的函数的和差积商在x0上也连续。
函数在区间I上单调且连续，其反函数在区间I上也单调连续。
复合函数的连续
闭区间连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理，零点定理与介值定理。