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什么是算法

在说插入排序之前，我们了解下《算法导论》对算法的从两种不同角度的定义。

一般性解释：

算法是定义良好的计算过程，它取一个或一组值作为输入，并产生出一个或一组值作为输出。

基于应用的解释：

算法是一种工具，用来解决一个具有良好规格说明的计算问题。该问题的描述可以用通用的语言，来规定所需的输入/输出关系。与之对应的算法则描述了一个特定的计算过程，用于实现这一输入/输出关系。

后一种解释在告诉我们，我们不必对于每个问题都去重新设计、证明和实现算法，而是有能力将实际问题转换成已知算法问题，然后选取合适的解法。而这种能力就是学习算法的目的所在。这要求我们不仅要积累算法知识，还要在更高的抽象层次上理解算法的方法论。

排序问题的形式定义

排序问题是算法要解决的一个基本问题。它的形式化定义如下：

输入：n个数的一个序列[a₁, a₂, ..., a_n]。

输出：输出序列的一个排列[a₁', a₂', ..., a_n'], 满足a₁' ≤ a₂' ≤ ... ≤ a_n'。

插入排序算法

插入排序算法，对于少量元素的排序问题，是一个有效的算法。

经典应用

扑克

即便是玩过扑克牌的小孩子，其实都对插入排序算法了然于胸。

摸牌之前，所有将会被你摸到的牌，此时是一种乱序的状态。
你开始摸牌，并将新摸到的牌插入到合适的位置，以保证你手中的牌总是有序的。
直到摸到最后一张，将其插入到合适的位置，此时你手中所有的牌就已经排好序了。

算法的抽象表达

想让计算机听懂上述的算法，需要将其进行翻译。

INSERTION-SORT(A)
1 for j = 2 to A.length
2   key = A[j]
3   // Insert A[j] into the sorted sequence A[1..j-1].
4   i = j - 1
5   while i > 0 and A[i] > key
6       A[i + 1] = A[i]
7       i = i - 1
8   A[i + 1] = key

原著中的伪码无可挑剔，就沿用了。做一些说明：

算法名称INSERT-SORT；
A是一个长度为n的要排序的数组，用A.length表示n；
把待排序数组A逻辑上分为两个数组，排好序的（手中的牌），未排序的（桌上待摸的牌）；
排好序的数组起始只有一个元素，就是原数组A的第一个元素（摸出的第一张牌无需排序），循环变量用i表示；
未排序的数组起始，从原数组A的第二个元素一直到最后一个元素，所以外层的遍历是“2 to A.length”，循环变量用j表示；
外层遍历过程中，每个当前元素A[j]都暂存至key变量中；
key要加入排序好的数组，会从该排序好数组的最末i(j-1)开始进行比较，如果A[i]大于key，A[i]移动到A[i+1]，i自减，继续与key比较，如果此时i ≤ 0 或者 A[i] ≤ key，循环条件不成立跳出，将key存入A[i+1]。

算法工作例子

插入算法如何工作

说明：

(a)~(e)是循环迭代，(f)是最终排好的数组；
数组上方是数组的下标；
黑色块表示每次外层迭代，待插入左侧数组的数A[j]；
灰色块表示参与和A[j]比较的数；
黄色箭头是伪码第6行表达的移动；
蓝色大箭头是伪码第8行表达的移动；

Java实现

public class InsertionSort {
    public static void sortInASC(int[] numbers){
        for(int j = 1; j < numbers.length; j++){
            int key = numbers[j];
            int i = j - 1;
            while(i >= 0 && numbers[i] > key){
                numbers[i + 1] = numbers[i];
                i = i - 1;
            }
            numbers[i + 1] = key;
        }
    }
}

InsertSort.java下载。

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