Fibonacci数列高效解法大全及时间复杂度分析 连载【1】

在数学上，斐波那契数列是以递归的方法来定义

用程序算斐波那契数列最常见的就是迭代与递归算法。

为了评价各算法程序效率如何

安装 profiler 来计时和能看到每行的运行次数

先在系统下输入命令pip install line_profiler安装

使用也很简单，在要计时的函数定义前加上@profile这个装饰符

然后在系统下输入命令kernprof -l -v 被计时的源程序.py

开始看第一个程序，输入参数n算第n项的Fibonacci数。以下皆是在Python 3.7环境下运行

1.  非递归的迭代解法

def Fibonacci_sequence_01 (n: int) -> int: #参数n是表示求第n项Fibonacci数

    '返回单项的for迭代解法'

    assert isinstance(n, int), 'n is an error of non-integer type.'

    if n>=2:

        prev_num, current_num = 0, 1

        for i in range(2, n+1):

            prev_num, current_num = current_num, prev_num+current_num

        return current_num

    elif n==1:

        return 1

    elif n==0:

        return 0

    else:

        return None

Fibonacci_sequence_01(1200)

用算到第1200项Fibonacci数来测量下用时

在我的电脑上Total time: 0.002855秒

2.  典型的递归解法，算法可读性很好

def Fibonacci_sequence_02 (n: int) -> int: #参数n是表示求第n项Fibonacci数

    assert isinstance(n, int), 'n is an error of non-integer type.'

    def Calculate_Fibonacci_sequence (n: int) -> int:

        '返回单项的递归解法'

        if n>=2:

            return Calculate_Fibonacci_sequence(n-1) + Calculate_Fibonacci_sequence(n-2)

        elif n==1:

            return 1

        elif n==0:

            return 0

    if n>=0:

        Calculate_Fibonacci_sequence(n)

    else:

        return None

然而，时间复杂度是：O(1.618 ^ n)，没有实用价值。这个时间复杂度的详解见“算法的时间复杂度”这篇文章

3.  尾递归解法

递归解法的一个缺点是递归调用会一层一层压栈，占用栈空间达O(n)。特别是Python默认只设1000层，超过就抛出异常了

尾递归算法相当于迭代的变形，理论上尾递归不需要保留调用前信息，栈空间只需要O(1)。但是Python没有针对尾递归形式做识别，尾递归调用时还是有一层一层压栈动作，超出默认栈深度就不行了。对于不支持尾递归优化的语言，这时要用一个叫“蹦床（Trampoline）”的技巧

“蹦床”也就是对递归函数进行包装，蹦床拦截了传给递归函数的参数，递归函数代码的加载过程都透过这个蹦床。每次的递归调用，实际都被蹦床转化为蹦床去拿拦截的参数调用一次递归函数，这样栈空间占用一直为O(1)

来看装饰器样式，样子如：

先对尾递归函数加上装饰器

@proper_tail_call

def Fibonacci_sequence(n):

然后使用时就是原样不变的函数调用样式

Fibonacci_sequence(n)

好了，下面就是完整的尾递归装饰器及尾递归解法斐波那契数

import functools

import inspect

class TailCallException(Exception):

    def __init__(self, *args, **kwargs):

        self.args = args

        self.kwargs = kwargs

def proper_tail_call(func):

    '用于return式尾递归的蹦床装饰器代码。使用方法：在定义尾递归函数语句前一行写装饰器“@proper_tail_call”'

    @functools.wraps(func)

    def wrapper(*args, **kwargs):

        frame = inspect.currentframe()

        if frame.f_back and frame.f_back.f_back and frame.f_code ==frame.f_back.f_back.f_code: #先判断当前是否为递归调用（递归的话是_wrapper->被装饰函数->_wrapper），再判断是否存在前级和前前级调用

            raise TailCallException(*args, **kwargs)

        else:

            while True:

                try:

                    return func(*args, **kwargs)

                except TailCallException as e:

                    args = e.args

                    kwargs = e.kwargs

    return wrapper

def Fibonacci_sequence_03 (n: int) -> int: #参数n是表示求第n项Fibonacci数

    assert isinstance(n, int), 'n is an error of non-integer type.'

    @proper_tail_call

    def Calculate_Fibonacci_sequence (n: int, prev_num: int =0, current_num: int =1) -> int:

        '返回单项的return式尾递归解法'

        if n>=2:

            return Calculate_Fibonacci_sequence(n-1, current_num, prev_num+current_num)

        elif n==1:

            return current_num

    if n>=1:

        return Calculate_Fibonacci_sequence (n)

    elif n==0:

        return 0

    else:

        return None

Fibonacci_sequence_03(1200)

还是用算到第1200项Fibonacci数来测量下用时，Total time: 0.011484秒

未完待续……

Fibonacci数列高效解法大全及时间复杂度分析　连载【2】