数值分析LU分解法

数值分析的LU分解法

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最近学习，以下是个人心得体会：（这里重点讲如何解题）
1.简介：
在线性代数中， LU分解(LU Decomposition)是矩阵分解的一种，可以将一个矩阵分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积（有时是它们和一个置换矩阵的乘积）。LU分解主要应用在数值分析中，用来解线性方程、求反矩阵或计算行列式。
2.原理：
LU分解是基于高斯消元法的，消去法就是核心。
3.解题：
这里我们抛开书中复杂的公式和定理，教给大家一种简单的消元法：
以书中例题4-2为例：
设

对矩阵A进行LU分解。
解：

1. 首先在3*3矩阵上，需要先分解出U矩阵，再分解L矩阵。
2. 对于上三角U来说，可以采用第一行为基准，对矩阵做行变换，消去下三角部分元素：
3. 矩阵U化简步骤如下：
   
4. 对于下三角L来说，可以采用第一列为基准，对矩阵做行列变换，消去上三角部分元素：
   （另：L必须保证主对角线为单位阵）
5. 矩阵L化简步骤如下：
   
   L化简必须保证最后主对角线为单位阵。
6. 此时分解完毕。

补充说明：

另有需要求解方程组（X，Y值）的题目，前面道理相同，先算出U矩阵，行变换结束的同时可以解得Y值。
因为

所以

带入计算即可。
如有不对之处，请批评指正。