0.引言
这篇文章其实是这两周学完Brown运动这一章后老师布置的课程论文，写的比较数学，但是不太严谨。好多地方我没看懂的也就没写上去。主要是对定义和公式的理解，梳理了一下Black-Scholes方程的推导过程。主要参考了知乎大神石川的两篇文章（见文末）。
关于几何布朗运动的直观理解可以参看随机微分方程（SDE）的蒙特卡洛模拟（Python实现）和几何布朗运动数值解的模拟
1.布朗运动
1.1 定义
定义：随机过程称为Brown运动，如果它满足如下三个条件：
若则称其为标准Brown运动。
从定义我们可以知道：
1.标准Brown运动在时的状态为；
2.可以推出Brown运动是一个马尔科夫过程，任意时刻之后的状态仅和时刻的状态有关，而与历史无关，另外还可以证明它是鞅过程和正态过程（即高斯过程）；
3.在任何有限时间区间内标准Brown运动的变化服从均值为0，方差为的正态分布，而且其方差会随着时间区间长度线性增加。
1.2 性质
1.1.2.1 不变性
一些简单的不变性列举。
若是标准Brown运动，则
(1)对称性：
(2)起点变换：
(3)尺度变换：
(4)时间倒置：
(5)时间反向：
也是标准Brown运动。
1.1.2.2 Brown处处不可微
对于任给的正数M，有
这可能是最好理解的性质：Brown运动是连续的，但它在任一点的导数有限的概率为0，i.e，对几乎每条样本轨道上任意一点，其导数不存在，也就是说固定，Brown运动不可导。进一步可以证明Brown运动处处不可微（证明没啃清白）。
1.1.2.3 其它性质
对书上其他的性质理解不是很深，所以来说一下在别的地方看到的性质。
(1)Brown运动的轨迹会频繁的穿越时间轴，即在时间轴上下波动，这一点其实就是书上对Brown运动每个状态都常返（a是零常返）的证明
(2)在任意时刻，它的位置不会偏离正负一个标准差（）太远
2.的导出
2.1 连续可微函数的二次变分
这个概念从别的地方看的，书上只讲了Brown运动的二次变差过程，也就是
定义：
考虑时间区间和该区间内的一个划分 ，则对于任意一个连续函数 ，它的二次变分（quadratic variation）定义为：
推论：
对于一个连续且在上处处可微的函数，可以由中值定理得出
由此，对区间分割足够细时，，函数的二次变分为
2.2 Brown运动的二次变分
把上述换成即可，Brown运动的二次变分：
但推论有变化:
即，对区间分割足够细时，，随机过程的二次变分为（区间长度），而不是0
理解：
对于Brown运动，其非零的二次变分说明随机性使得它的波动太频繁，以至于不管我们如何细分区间、得到多么微小的划分区间，这些微小区间上的位移差的平方逐段累加起来的总和(二次变分的几何意义)都不会消失（即二次变分不为0），而是等于这个区间的长度
2.3
综上，Brown运动的二次变分公式也可以写成，这是伊藤微分公式推导的关键。
2.4
如何理解这个式子呢？先将其写成增量的形式：
对比一般的确定性函数增量和微分的关系：
我们发现Brown运动的增量与成正比，与一般的确定性函数增量和微分的关系不同的是，Brown运动的增量和微分不再具有线性关系，也就表明在Brown的样本轨道的任意一点附近不能“以直代曲”。这也构成了随机微分方程和确定性微分方程的本质区别。
3.多元函数的泰勒展开
若函数在点的某领域上有直到阶的连续偏导数，则对内任一点，存在相应的，使得
其中，
若只需求，则只需在内存在直到阶连续偏导数，便有
这个公式将帮助我们导出伊藤微分公式
4.伊藤微分公式
4.1 伊藤微分公式
设实函数关于有二阶连续偏导数，关于有一阶连续偏导数，若是参数为的Brown运动，则
书上给出的证明条件是关于和都有二阶连续偏导数。
证明思路是对进行泰勒展开，展到二阶，然后处理掉其中的无穷小项。具体过程就不摆了，简单的写一下思路以及理解了的点吧。
(1)从到
前者显然是直观的微分形式，但由于Brown运动处处不可导，所以这样的微分是不可行的；
后者绕开了，但是这样也是错误的，这是由于Brown运动的二次变分非零。当我们用泰勒展开写出它的前两项时，就明白为什么后者也是不可行了。
(2)要展开到二阶的原因
由一般函数的泰勒展开：
从第二项开始都是的高阶无穷小，所以可以略去，只留第一项，
而Brown运动则不行，二阶偏导会出现，不再是高阶无穷小，所以无法略去；
(3)无穷小项的处理
，，，第三个显然，第一个和第二个用到了前面的2.3和2.4。
4.2 一般随机微分方程
扩散方程模型：
其中和是和的函数。
令，推导随机过程满足的随机微分方程：
将代入上面方程，其中，
忽略高阶无穷小项，可得：
从这里也可以感受到随机微分方程的解往往是先猜解后验证。
4.3 几何布朗运动
设随机过程满足
其中为常数，为标准Brown运动，满足上述微分方程的解称为几何Brown运动。
在这里给出其解：
5.Black-Scholes公式
这里省略介绍公式的经济学背景，从数学上看，公式其实就是在思考如何消除。
满足SDE：
满足SDE：
定义证券组合价值为，其满足：
将和代入上式，可得：
这里被抵消掉了，也就是消去了瞬时收益率的风险项。
在不存在无风险套利的市场中，该投资组合的瞬时收益率必须等于无风险收益率，即
将和代入上式，可得：
化简得：
上式称为微分方程。
[参考资料]
《随机过程 方兆本 第三版》
布朗运动、伊藤引理、BS公式（前篇）
布朗运动、伊藤引理、BS公式（后篇）
经济金融系列学习：伊藤引理