Softmax回归

Softmax回归

Reference：

http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/Softmax_regression

http://deeplearning.net/tutorial/logreg.html

 

起源：Logistic的二类分类

Softmax回归是Logistic回归的泛化版本，用于解决线性多类（K类）的分类问题。

Logistic回归可以看作是Softmax回归在K=2时的特例。Softmax函数即是K分类版的Logistc函数。

裸Softmax回归的效果很差，因为没有隐层结构，归根还是是线性回归。所以在深度学习里，Softmax则通常作为MLP的输出层。

即，将BP网络和Softmax结合起来，取BP网络的隐层映射机制、Softmax的多分类机制，加以组合形成新的MLP架构。

这么做的原因就是，传统BP网络的输出层是个多神经元的自行设计接口层，比如常见的log2(K)方法，转多分类需要麻烦的编码。

但实际上，隐层（可看作是input）到输出层的映射原理等效于Softmax，既然Softmax拥有概率取分类的方法，何必再用低效的编码方法？

 

Part I  如何从2类转化为K类？

解决方案是引入K组（W、b）参数，即有K个分隔超平面，选择maxP（Y=j|xi,θ,b)作为最终分类即可。

由于存在K组参数，原来的h(θ)=sigmoid(Inner)将从单个值，变成一个大小为K的向量。

 

 

 

Part II  变化的目标函数

Logistic的目标函数： J(θ)=∑mi=1(1−y(i))log(1−hθ(xi)+yilog(hθ(x(i)))

在Softmax里，由于hθ(x(i)已经变成了向量，所以不能再使用。

实际上，在Logistic的推导里，hθ(x(i))只是偶然而已，P(y=0|x;θ)=h(θ)。

即P(y|x;θ))才是真正的概率分布函数,上述情况只是二项分布的特例。由于y的取值变成的K类，所以新的K项分布概率密度分布表示如下：

P(y(i)=j|x;θ)=eWjXi∑kl=1eWlXi

且定义1{ yi=j}=(yi==j)?1:0

则  J(θ)=∑mi=1∑lj=01{ yi=j}logeWjXi∑kl=1eWlXi

仔细观察，其实就是hθ(x(i))这个向量根据y(i)情况抽取的单个值而已，这就是Logistic函数的修改版本——Softmax函数

梯度变成：∂J(θj)∂θj=∑mi=1x(i)(1{ yi=j}−P(y(i)=j|x;θj)),j=1,2....k

可以使用梯度上升算法了（下降算法也可，即取均值加上负号，变成负对数似然函数）：

θnewj=θnewj+α∂J(θj)∂θj,j=1,2....k

 

Part III  C++代码与实现

#include "cstdio"
#include "iostream"
#include "fstream"
#include "vector"
#include "sstream"
#include "string"
#include "math.h"
using namespace std;
#define N 500
#define delta 0.0001
#define alpha 0.1
#define cin fin
#define K 2
#define Dim dataSet[0].feature.size()
struct Data
{
    vector feature;
    int y;
    Data(vector feature,int y):feature(feature),y(y) {}
};
struct Parament
{
    vector w;
    double b;
    Parament() {}
    Parament(vector w,double b):w(w),b(b) {}
};
vector dataSet;
vector parament;
void read()
{
    ifstream fin("fullTrain.txt");
    double fea;int cls;
    string line;
    while(getline(cin,line))
    {
        stringstream sin(line);
        vector feature;
        while(sin>>fea) feature.push_back(fea);
        cls=feature.back();feature.pop_back();
        dataSet.push_back(Data(feature,cls));
    }
    for(int i=0;i(Dim,0.0),0.0));
}
double calcInner(Parament param,Data data)
{
    double ret=0.0;
    for(int i=0;i feature;
        while(sin>>fea) feature.push_back(fea);
        cls=feature.back();feature.pop_back();
        int bestClass=-1;double bestP=-1;
        for(int i=1;i<=K;i++)
        {
            double p=calcProb(i,Data(feature,cls));
            if(p>bestP) {bestP=p;bestClass=i;}
        }
        cout<<"Test:"<<++no<<"  origin:"<delta)
    {
        objLW=newLW;
        gradient(iter);
        newLW=calcLW();
        iter++;
        //if(iter%5==0) cout<<"iter: "< 
    
 
    
 
     
 
       
     
 
     
#include "cstdio"
#include "iostream"
#include "fstream"
#include "vector"
#include "sstream"
#include "string"
#include "math.h"
using namespace std;
#define N 500
#define delta 0.0001
#define alpha 0.1
#define cin fin
#define K 2
#define Dim dataSet[0].feature.size()
struct Data
{
    vector feature;
    int y;
    Data(vector feature,int y):feature(feature),y(y) {}
};
struct Parament
{
    vector w;
    double b;
    Parament() {}
    Parament(vector w,double b):w(w),b(b) {}
};
vector dataSet;
vector parament;
void read()
{
    ifstream fin("fullTrain.txt");
    double fea;int cls;
    string line;
    while(getline(cin,line))
    {
        stringstream sin(line);
        vector feature;
        while(sin>>fea) feature.push_back(fea);
        cls=feature.back();feature.pop_back();
        dataSet.push_back(Data(feature,cls));
    }
    for(int i=0;i(Dim,0.0),0.0));
}
double calcInner(Parament param,Data data)
{
    double ret=0.0;
    for(int i=0;i feature;
        while(sin>>fea) feature.push_back(fea);
        cls=feature.back();feature.pop_back();
        int bestClass=-1;double bestP=-1;
        for(int i=1;i<=K;i++)
        {
            double p=calcProb(i,Data(feature,cls));
            if(p>bestP) {bestP=p;bestClass=i;}
        }
        cout<<"Test:"<<++no<<"  origin:"<delta)
    {
        objLW=newLW;
        gradient(iter);
        newLW=calcLW();
        iter++;
        //if(iter%5==0) cout<<"iter: "< 
     
 
       
     
 
    
 
   

Part IV  测试

使用Iris鸢尾花数据集：http://archive.ics.uci.edu/ml/datasets/Iris，是三类分类问题

该数据集的第三组数据是非线性的，若K=3训练，则因为非线性数据扰乱，错误率很大。

若K=2，则代码等效于Logistic回归，错误率相近。