＜算法导论＞练习3.1

3.1-1
  由题目可知，$f(n)>0且g(n)>0$,并且他们均小于$max(f(n),g(n))$,而且$max(f(n),g(n))$一定小于$f(n)+g(n)$,那么存在：
$$0<=\frac{f(n)+g(n)}{2}<=max(f(n)+g(n))<=f(n)+g(n)$$
这就是$\Theta (f(n)+g(n))$的定义了，即$c_1=1/2,c_2=1$

3.1-2

为了证明该式，只需要找到对任意的$n>n_0$,以及存在$c_1,c_2$使得$c_1{n}^b<(a+n{)}^b<=c_2{n}^b$

3.1-3

  求一个算法的运行时间，是为了得到它的运行上界以及运行下界，按题中所说的运行时间至少是$O(n^2)$,是得不到运行上界的。
  在这本书里$O()$函数指的是运行上界，以$O(n^2)$为例，所有运行时间小于它的函数都可以认为其时间复杂度为$O(n^2)$,比如$f(n)=n$,所以用这种方式运行下界也无法得出，即这种说话没有意义。

3.1-4

(1)成立，由定义可知，存在$c>=2,n_0=0$使得，$0<=2^n+1<=c\ast 2^n$
(2)不成立，因为找不到满足的c与$n_0$

3.1-5

3.1-6

由第5题可知，证明过程也是一样的。
3.1-7