夜深人静写算法（三十）- 二分快速幂

一、前言

  刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！
  如果你也和我有一样的困扰，那接下来就让我们一起来专攻一下数论的知识吧！额 … … 介于明天又要上班，就先来个基础的数论算法吧。二分快速幂，就当开胃菜了，适当也要劳逸结合不是嘛！

二、模幂运算

【例题一】已知三个正整数$a,b,c(a,b,c<=10^5)$，求：$$f(a,b,c)=a^{b}modc$$

• 这里求 $a$ 的 $b$ 次幂(次方)对 $c$ 取余数的计算，被称为模幂运算，本文会针对以上的式子，根据数据范围提供完全不同的算法来进行讲解，确保正确性的前提下，以求达到时间和空间的平衡；
• 高端的算法往往只需要采用最朴素的诠释方式。

1、朴素算法

1）枚举

• 直接一个 $b$ 次的循环，枚举对 $a$ 的 $b$ 次乘法：
  图二-1-1
• 最后进行取模运算（c++中的 ‘%’ 符号等价于数学中的取模 $mod$）；
• c++代码实现如下：

int f(int a, int b, int c) {
     
    int ans = 1;
    while(b--)
        ans = ans * a;
    return ans % c;
}

• 这段代码有没有问题呢？我们来尝试用一些数据测试一下：

$f(3,5,7)=5$
$f(3,10,7)=4$
$f(3,100,7)=-2$
$f(3,1000000000,7)=...$

• 1、溢出问题：首先，在数据量比较大的时候，运算结果会出现负数，这是因为 $int$ 的取值范围是 $[-2^{31},2^{31})$，超过后就会溢出，结果就和预期的不符了；
  

  图二-1-2

• 2、时间复杂度：其次，这个算法的时间复杂度是 $O(b)$ 的，当 $b$ 很大的时候，明显是无法满足时间要求的，尤其是写服务器代码的时候，时间复杂度尤为重要，10个、100个、1000 个玩家出现这样的计算时，时间消耗都是成倍增长的，非常占用服务器 CPU 资源；

• 那么，我们先保证正确性，确保计算过程中不会溢出，这里就需要用到数论里面一些简单的知识：模乘。

2）模乘

• 模乘满足如下公式：
  $$abmodc=(amodc)(bmodc)modc$$
• 证明如下：
• 令 $a=r_a+m_{a}c$，$b=r_b+m_{b}c$, 其中 $(0<=r_a,r_b<c)$，将乘法代入原式，得到：
  $$\begin{array}{rl}abmodc& =(r_a+m_{a}c)(r_b+m_{b}c)modc\\ & =(r_a{r}_b+r_a{m}_{b}c+m_a{r}_{b}c+m_a{m}_b{c}^2)modc\\ & =r_a{r}_{b}modc\\ & =(amodc)(bmodc)modc\end{array}$$
• 所以我们可以对朴素算法进行一些改进，改进如下：

int f(int a, int b, int c) {
     
    int ans = 1 % c;
    while(b--)
        ans = ans * a % c;
    return ans;
}

• 利用模乘运算，可以先模再乘，每次运算完毕确保数字是小于模数的，这样确保数字不会太大而造成溢出，但是这里没有考虑一种情况，就是 $a$ 有可能是负数；

3）负数考虑

• 需要再进行一次改进，改进版如下：

int f(int a, int b, int c) {
     
    a = (a % c + c) % c;
    int ans = 1 % c;
    while(b--)
        ans = ans * a % c;
    return ans;
}

• 我们发现只需要多加一句话：
  图二-1-3
• $a\%c$ 是为了确保模完以后 $a$ 的绝对值小于 $c$，如图二-1-3所示；
  图二-1-4
• 再加上 $c$ 是为了保证结果是正数，如图二-1-4所示；
  图二-1-5
• 最后又模上 $c$ 是为了确保 $a$ 是正数的情况也能准确让结果落在 $[0,c)$ 的范围内，如图二-1-5所示；
• 这样改完还有哪些问题呢？？？
• 1、溢出问题：溢出问题仍然存在，只要 $c$ 的范围是 $[-2^{31},2^{31})$，$ans$ 和 $a$ 的范围就在 $[0,c)$，$ans\ast a$ 的范围就是 $[0,c^2)$，最坏情况就是 $[0,2^{62})$，还是超过了 $int$ 的范围；
• 2、时间复杂度：时间复杂度仍然是 $O(b)$ 的，而且每次都有一个取模运算，常数时间变大了；
• 为了改善溢出问题，我们可以在相乘的时候转成 $long$ $long$ 来避免，c++ 代码实现如下：

int f(int a, int b, int c) {
     
    a = (a % c + c) % c;
    int ans = 1 % c;
    while(b--)
        ans = (long long)ans * a % c;
    return ans;
}

• 溢出问题暂且告一段落，接下来让我们考虑下如何改善时间复杂度的问题（也许有人会问，如果 模数$c$ 的范围是 $long$ $long$ 又该怎么办呢？这个问题我打算在本文的末尾进行讲解）；

2、循环节

1）小数据分析

【例题二】已知三个正整数$a,b,c(a,b<=10^{18},c<=10^5)$，求：
$$f(a,b,c)=a^{b}modc$$

• 虽然 $a$ 和 $b$ 的数据量很大，但是 $c$ 很小，根据上文提到的模乘的性质，$a$可以通过模$c$ 首先进行一次降数量级的操作，起码范围可以缩小到 $[0,c)$，再来看上面这个函数，根据模乘的性质，满足一个递推式：
  $$f(a,i,c)=af(a,i-1,c)modc$$
• $f(a,i-1,c)$ 的取值范围必定是 $[0,c)$，所以当最多计算 $c$ 次以后必定能够产生一个循环，举个例子：
• $$a=10,b=181217,c=42$$
  
• 随着 $b$ 的逐步递增，得到的余数是一个以 6 为一个循环的序列，如下：
• $$1\underset{6}{\{10,16,34,4,40,22\}}\underset{6}{\{10,16,34,4,40,22\}}\underset{6}{\{10,16,34,4,40,22\}}......$$

2）算法实现

利用循环节的算法实现如下：
  1）枚举最多 $c$ 次，将前 $i$ 次的运算结果存储在 $F[i]$，并且用 $FPos[i]$ 来哈希每次取模得到的结果的第一次出现的位置，初始化 $FPos[i]$ 都为 $-1$；
  2）每次枚举计算完 $F[i]$ 后，通过哈希寻找它第一次出现的位置，如果是 $-1$，代表从来没出现过，更新 $FPos[F[i]]=i$；
  3）否则表示找到了和之前相同的值，循环节就是两次相同位置的差值，记为 $K$，后面无论 $b$ 多大，都是每 $K$ 次一个循环，可以通过 $b$ 对 $K$ 取模算出最终的答案；

• 算法时间复杂度为 $O(K)$（这个 $OK$ 真是太有灵性了）；
• 基于 $K$ 的不确定性，并且时间复杂度应该是算最坏情况下的，所以这个算法的实际时间复杂度是 $O(c)$；
• c++代码实现如下：

#define MAXN 100005
int F[MAXN+1], FPos[MAXN+1];
int f(int a, int b, int c) {
     
    memset(FPos, -1, sizeof(FPos));
    F[0] = 1 % c;
    FPos[ F[0] ] = 0;
    for(int i = 1; i <= b; ++i) {
     
        F[i] = F[i-1] * a % c;
        int &pre =  FPos[ F[i] ];
        if( pre == -1) {
     
            pre = i;
        }else {
     
            int K = i - pre;
            int Index = ( b - pre ) % K + pre;
            return F[Index];
        }
    }
    return F[b];
}

三、二分快速幂

• 说了这么多，终于轮到主角登场了！

【例题三】已知三个正整数$a,b,c(a,b<=10^{18},c<=10^9)$，求：$$f(a,b,c)=a^{b}modc$$

• 这里 $a$ 和 $b$ 的数据量没变，但是 $c$ 的数据量一下就上来了，如果还是采用找循环节的算法，当 $a$ 和 $c$ 互素的情况，时间复杂度会达到最坏情况 $O(c)$，肯定是无法接受的；
• 于是，我们可以采用二分的思想，对原式进行分治法，有如下公式：
  $$a^{b}modc=\{\begin{array}{ll}1modc& b为0\\ a(a^{(b-1)/2}{)}^{2}modc& b为奇数\\ (a^{b/2}{)}^{2}modc& b为正偶数\end{array}$$
• 利用程序的递归思想，可以把函数描述成如下的形式：
  $$f(a,b,c)=\{\begin{array}{ll}1modc& b为0\\ af(a,\frac{b-1}{2},c{)}^{2}modc& b为奇数\\ f(a,\frac{b}{2},c{)}^{2}modc& b为正偶数\end{array}$$
• 这个算法的时间复杂度为 $O(lo{g}_b)$；
  图三-1-1

1、递归实现

#define ll long long
ll f(ll a, ll b, ll c) {
     
    if (b == 0)
        return 1 % c;
    ll v = f(a*a % c, (b>>1), c);
    if (b & 1)
        v = v * a % c;
    return v;
}

• 代码实现非常简单，根据 c++ 整数除法是取下整的特性，偶数和奇数的除法可以统一处理，然后用位运算进行一部分优化；
• 1）右移一位相当于 除2；
• 2）位与(&) 1 用于判断奇偶性；

2、二进制优化实现

• 由于递归实现会有一些堆栈及函数调用的性能消耗，所以我们可以采用迭代的方式化解递归，来看一个例子：
  $$\begin{array}{rl}{a}^{(22{)}_{10}}& =a^{(10110{)}_2}\\ & =a^{(10000{)}_2+(100{)}_2+(10{)}_2}\\ & =a^{1\ast (10000{)}_2+0\ast (1000{)}_2+1\ast (100{)}_2+1\ast (10{)}_2+0\ast (1{)}_2}\\ & =a^{1\ast (16{)}_{10}+0\ast (8{)}_{10}+1\ast (4{)}_{10}+1\ast (2{)}_{10}+0\ast (1{)}_{10}}\end{array}$$
• 我们发现只要依次求出 $a^1、a^2、a^4、a^8、a^{16}...$ ，然后将 指数 二进制分解中那一位是 $1$ 的对应的次幂项都乘起来，就是原先的 $a$ 的次幂；
• c++ 代码实现如下：

#define ll long long
ll f(ll a, ll b, ll c){
     
    ll ans = 1;
    while(b) {
     
        if(b & 1) ans = ans * a % c;     // 1）
        a = a * a % c;                   // 2）
        b >>= 1;                         // 3）
    }
    return ans;
}

• 1）和 3）是配合着做的，检查 $n$ 的第 $i$ 位二进制低位否是1，如果是则乘上对应的 $a$ 次幂：$a^{n_i}(其中n_i=2^i)$
• 2）依次求出 $a^1、a^2、a^4、a^8、a^{16}...$；
• 这个算法的时间复杂度为 $O(lo{g}_b)$，相比递归算法减少了一些常数消耗；

四、模数为 64 位整数

【例题4】已知三个正整数$a,b,c(a,b,c<=10^{18})$, 求：$$f(a,b,c)=a^{b}modc$$

• 和之前问题唯一不同的点在与：$c$ 的范围不再是 $32$ 位整数 $int$，所以无论是朴素算法、二分快速幂，都会面临一个问题：模乘运算的中间过程有很大概率会超过 $64$ 位整数 （c++ 64位机器能够表示的最大整数）；
• 思考一下之前的二进制优化的快速幂，容易溢出的地方在于乘法，那么我们现在要解决的问题就变成了如何将两个 64 位整数相乘取模的中间过程不会超过 64 位整数的最大值；
• 举个例子：
  $$\begin{array}{rl}1981\ast 22& mod181\\ =1981\ast (16+4+2)& mod181\\ =1981\ast (1\ast 16+0\ast 8+1\ast 4+1\ast 2+0\ast 1)& mod181\end{array}$$
• 我们发现，只要能够求出 1981 的 1倍、2倍、4倍、8倍、16倍，然后在 22 的对应二进制位去找，如果对应位是 1 的就加到结果中，最后这些累加的结果值模181就是最终的答案，和二进制优化二分快速幂的原理是一样的；

算法实现如下：
  1）对于 $a\ast bmodc$，对 $b$ 进行二进制分解；
  2）$b$ 的对应二进制位为 $b_i$，且 $b$ 最多 $K$ 位，那么 $$ans=a\sum _{i=0}^{K-1}{b}_i\ast 2^{i}modc$$

• c++ 代码实现如下：

#define ll long long
ll Product_Mod(ll a, ll b, ll c) {
     
    ll sum = 0;
    while(b) {
     
        if(b & 1) sum = (sum + a) % c;
        a = (a + a) % c;
        b >>= 1;
    }
    return sum;
}
ll f(ll a, ll b, ll c) {
     
    ll ans = 1;
    while(b) {
     
        if(b & 1) sum = Product_Mod(sum, a, c);
        a = Product_Mod(a, a, c);
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

五、时间复杂度总结

• 最后，对于各种 $a^{b}modc$ 的算法，总结一下各个算法的时间复杂度；
• 后续章节，将会介绍 $b$ 非常大的情况，需要用到 扩展欧拉定理 降幂，暂时不作展开。

算法	时间复杂度	解析
朴素算法	$O(b)$	最常规的理解方式，适用于指数 $b$ 比较小的问题
循环节算法	$O(c)$	适用于模数 $c$ 比较小的问题
二分快速幂 - 递归	$O(lo{g}_b)$	分而治之的思想，适用于 $b$ 比较大的情况
二分快速幂 - 二进制优化	$O(lo{g}_b)$	相对于递归来说，减少了递归函数调用带来的消耗

• 关于 二分快速幂 的内容到这里就全部结束了，如果还有不懂的问题可以留言告诉作者或者添加作者的微信公众号。

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• 本文所有示例代码均可在以下 github 上找到：github.com/WhereIsHeroFrom/Code_Templates

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