特征值和特征向量在现代控制理论的简单应用

参考视频：https://www.bilibili.com/video/BV1fx41137Zm
在线性代数中，对于一个给定的线性变换A，它的特征向量经过这个线性变换的作用之后，得到的新向量仍然与原来的v保持在同一条直线上，但长度或方向也许会改变，即：
$$Av=\lambda v$$
其中$\lambda$为标量，即特征向量的长度在该线性变换下缩放的比例，称其为特征值。

求解A特征值特征向量的具体步骤查看大学的线性代数。

应用

结论：特征值特征向量的作用是把一个矩阵化成对角矩阵，起到解耦的作用！即存在可逆矩阵P，使：
$$P^{-1}AP=\wedge$$
现在考虑微分方程组的解法，在现代控制理论中，状态空间方程中是用一系列微分方程组组成的：

在解x向量的微分方程组时，通过x=Py可以进行解耦，把x的方程变成y的方程，由于对角矩阵的存在，可以直接解出y对于t的函数，然后代回x=Py时，可以解出向量x。

这是一个非常重要的应用，很多时候我们并不需要解出这个微分方程，可以通过特征值的符号可以判断系统的稳定性和系统的表现形式。