图论(1)：图的基本概念
图论(1):图的基本概念
文章目录
- 图论(1):图的基本概念
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- 一.无向图
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- 1.无向图定义
- 2.无向图术语
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- ①简单图
- ②（p，q）图
- ③顶点与边的关联, 边与边邻接
- ④图的关系表示
- ⑤带环图
- ⑥多重边图
- ⑦零图
- ⑧完全图
- 二.有向图
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- 1.有向图定义
- 2.有向图术语
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- 弧：有向图的边
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- 对称弧：
- 起点，终点：
- 定向图：不含对称弧的有向图
- 三.子图
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- 1.子图
- 2.真子图
- 3.生成子图
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- ①定义
- ②表示
- 4.极大子图
- 5.导出子图
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- ①定义
- ②表示
- 六.图的同构
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- 1.定义
- 七.顶点的度
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- 1.定义
- 2.定理（欧拉）
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- **==推论1：任一图中, 度为奇数的顶点的数目必为偶数==**
- 3.定义（正则图）
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- 推轮2：每个三次图有偶数个顶点，度为零的顶点称为弧立顶点 ，0 度正则图就是零图
- 八.路、圈、连通图
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- 1.通道、闭通道
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- ①定义(通道：交错序列)
- ②通道也叫通路(复杂通路) ，闭通道也叫做回路(复杂回路)
- 2.迹与闭迹
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- ①定义(迹：各边互不相同)
- ②迹又叫做简单通路，闭迹又叫做简单回路
- 3.路与回路
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- ①定义(路：各顶点互不相同)
- ②路又称作初级通路，圈又叫做初级回路。
- 4.连通图
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- ①定义（连通图）
- ②定义（连通图分支）
- ③定理（连通图的充分条件）
- ④定理 判定圈的充分条件(顶点度)
- ⑤定理 判定圈的充分条件(顶点路)
- 九.补图、偶图
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- 1.补图
- 2.偶图（二分图、二部图、双图、双色图）
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- ①定义
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- 偶图
- 完全偶图
- 两点间距离
- ②性质（偶图充要条件）
- 十.欧拉图
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- 1.欧拉迹、欧拉闭迹、欧拉图定义
- 2.性质
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- ①欧拉图判定充要条件
- ②推论：欧拉图等价命题
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- （1）G是一个欧拉图
- （2）G 的每个顶点的度都是偶数
- （3）G 的边集能划分成若干互相边不相交的圈
- ③推论：
- ④定理（n笔画问题）
- 十一.哈密顿图
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- 1.定义
- 2.定理
- 十二.哈密顿图
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- 1.定义
- 2.定理
一.无向图
1.无向图定义
设V是一个非空集合, V 的一切二元子集之集合记为 P 2 ( V ) P_2(V) P2(V), 即 P 2 ( V ) = { A ∣ A ⊆ V , ∣ A ∣ = 2 } P_2(V)=\{A|A\subseteq V,|A|= 2 \} P2(V)={ A∣A⊆V,∣A∣=2}
设 E ⊆ P 2 ( V ) , E\subseteq P_2(V), E⊆P2(V),二元组 ( V , E ) (V,E) (V,E)称为一个无向图,V 中元素称为无向图的顶点，V 为顶点集；E 称为边集，E 的元素称为图的边, 如果 { u , v } ⊆ E \{u,v\}\subseteq E { u,v}⊆E ，则称u 与v 邻接
2.无向图术语
①简单图
每个顶点都没有圈，任意两个顶点间最多只有一条边，任意一条边都可用它的两个端点来表示:
常用小写的英文字母 u,v,w 表示图的顶点( ( 可以带下标 );
常用小写的英文字母 x,y,z 表示图的边( ( 可以带下标) )
②（p，q）图
如果|V|= p, |E|= q ，则称G 为一个(p, q) 图，即G 是一个具有p 个顶点q 条边的图
(1,0)图又称为平凡图
③顶点与边的关联, 边与边邻接
- 称u 和v 为边x 的端点
- 称顶点u 和v 与边x 互相关联
- 称u 和v 邻接
- 若 x 与y 是图G 的两条边, 并且仅有一个公共端点,即 即|x∩y|=1,则称边x 与y邻接
④图的关系表示
由定义可知, 一个无向图G 就是一个非空集合V 上定义的一个 反自反且对称的二元关系E 和V 构成的系统
⑤带环图
联结一个顶点与其自身的边称为环，允许有环存在的图称为带环图
⑥多重边图
如果允许两个顶点之间有两个以上的边存在，这样的边称为多重边，允许有环与多重边存在的图，我们称为 伪图
⑦零图
设G=(V,E)为无向图，如果E= ϕ \phi ϕ，则称G为零图
n 个顶点的零图称为n 阶零图
⑧完全图
设 G=(V,E) 为无向图, , 如果G 中任意两个顶点间都有唯一的边， 则称G为完全图
n个顶点的完全图用 K n K_n Kn表示， K n K_n Kn共 C n 2 = n ( n − 1 ) 2 ( n ≥ 2 ) C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}(n\geq2) Cn2=2n(n−1)(n≥2)条边
二.有向图
1.有向图定义
设V为一个非空有限集， A ⊆ V × V ∖ { ( u , u ) ∈ V } A\subseteq V\times V\setminus \{ (u,u) \in V \} A⊆V×V∖{ (u,u)∈V}, 二元组D=(V, A) 称为一个有向图,V 中的元素称为D 的顶点,A 中元素(u,v) 称为D 的从u 到v 的弧或有向边
2.有向图术语
弧：有向图的边
对称弧：
如果 x=(u,v) 与 y=(v,u) 均为A的弧, , 则称 x 与y 为一对对称弧. .
起点，终点：
如果 x=(u,v) 是有向图的一条边, , 则称弧x 为起于顶点u 终于顶点v 的弧, , 或从u到v的弧 ,u 称为x 的起点 ,v 为终点
定向图：不含对称弧的有向图
三.子图
1.子图
设G = (V, E) 是一个图, 图 H = ( V 1 , E 1 ) H=(V_1,E_1) H=(V1,E1)称为G 的一个子图, 其中 V 1 V_1 V1是V 的非空子集且 E 1 E_1 E1是E的子集
2.真子图
设 G 1 G_1 G1和$G_2 是 图 是图 是图G$ 的两个子图，如果 G 1 ≠ G G1\ne G G1=G, 则称 G 1 G_1 G1是 G G G 的真子图。
3.生成子图
①定义
设G=(V,E) 是一个图, 如果 F ⊆ E F\subseteq E F⊆E, 则称
G 的子图H=(V, F) 为G的生成子图
生成：包含所有顶点
②表示
设x 是G 的一条边, 则G 的生成子图(V,E\{x}) 简记为G-x
如果u 和v 是G 的两个不邻接的顶点, 则图(V,E ∪{u,v}) 简记成G+uv, 它是在G 的图解中, 把u 与v 间联一条线而得到的图
4.极大子图
设G的子图H 具有某种性质,若G中不存在与H不同的具有此性质且包含H 的真子图, 则称H 是具有此性质的极大子图
5.导出子图
①定义
设S为图G=(V,E)的顶点集V的非空子集,则G 的以S 为顶点集的极大子图称为由S 导出的子图,记 记为. 形式地,=(S, P 2 ( S ) ∩ E ) \mathrm{P_2 (S)∩E}) P2(S)∩E).
于是,S 的两个顶点在 中邻接, 当且仅当这两个顶点在G中邻接
②表示
设G=(V,E),由V{v} 导出的子图
六.图的同构
1.定义
设 G=(V,E),H=(U,F) 是两个无向图，如果存在一个一一对应 φ : V → U \varphi:V\rightarrow U φ:V→U, 使得 u v ∈ E uv\in E uv∈E 当且仅当 φ ( u ) φ ( v ) ∈ F \varphi(u)\varphi(v)\in F φ(u)φ(v)∈F, 则称G G与H同构, , 记为 G ≅ H G\cong H G≅H
七.顶点的度
1.定义
设v为图 G=(V,E) 的任一顶点 ,G 中与v 关联的边的数目称为顶点v 的度,记为 degv
2.定理（欧拉）
设 G=(V,E) 是一个具有p个顶点q条边的图, , 则G中各顶点度的和等于边的条数q的两倍, , 即 ∑ v ∈ V d e g v = 2 q \sum\limits_{v\in V}degv=2q v∈V∑degv=2q
推论1：任一图中, 度为奇数的顶点的数目必为偶数
3.定义（正则图）
先定义最大度、最小度：显然, 对(p,q) 图的每个顶点v, 有0≤degv≤p-1， δ ( G ) = min v ∈ V { d e g v } , Δ ( G ) = max v ∈ V { d e g v } \delta(G)=\min\limits_{v\in V}\{degv\},\Delta(G)=\max\limits_{v\in V}\{degv\} δ(G)=v∈Vmin{ degv},Δ(G)=v∈Vmax{ degv}
若 δ ( G ) = Δ ( G ) = r \delta(G)=\Delta(G)=r δ(G)=Δ(G)=r,则图G称为r度正则图，即G 的每个顶点的度都等于r,3 度正则图也叫做三次图, 一个具有p个顶点的p-1 度正则图称为p 个顶点的完全图, 记为 K p K_p Kp 。
推轮2：每个三次图有偶数个顶点，度为零的顶点称为弧立顶点 ，0 度正则图就是零图
八.路、圈、连通图
1.通道、闭通道
①定义(通道：交错序列)
设G = (V , E)是一个图，G的一条通道时G的顶点和边的一个交错序列 v 0 , x 1 , v 1 , x 2 … , v n − 1 , x n , v n v_0,x_1,v_1,x_2…,v_{n−1},x_n,v_n v0,x1,v1,x2…,vn−1,xn,vn
其中 x i = v i − 1 v i , i = 1 , 2 , . . . , n x_i=v_{i-1}v_i,i=1,2,...,n xi=vi−1vi,i=1,2,...,n,n称为通道的长，这样的通道常常称为 v 0 − v n \mathrm{v_0-v_n} v0−vn通道，并简记为 v 0 v 1 v 2 . . . v n \mathrm{v_0v_1v_2...v_n} v0v1v2...vn
当 v 0 = v n \mathrm v_0=v_n v0=vn时，称此通道为闭通道
②通道也叫通路(复杂通路) ，闭通道也叫做回路(复杂回路)
2.迹与闭迹
①定义(迹：各边互不相同)
如果图中一条通道上的各边互不相同, 则称此通道为图的迹。
如果一条闭通道上的各边互不相同，则此闭通道称为闭迹。
②迹又叫做简单通路，闭迹又叫做简单回路
3.路与回路
①定义(路：各顶点互不相同)
如果图中一条通道上的各顶点互不相同, 则称此通道为路。
如果闭通道上各顶点互不相同, 则称此闭通道为圈或回路。
（顶点不重复，边肯定也不重复）
②路又称作初级通路，圈又叫做初级回路。
4.连通图
①定义（连通图）
设 G=(V,E) 是图, , 如果G 中任两个不同顶点间至少有一条路联结, , 则称G是一个连通图
②定义（连通图分支）
图G的极大连通子图称为G 的一个支
（一个不连通的图可以被分为互不相连的及部分，每个部分都是连通的，称为一个连通分支，或支）
③定理（连通图的充分条件）
设 G=(V,E) 是一个有p 个顶点的图, ,若对G的任两个邻接的顶点u和v: d e g u + d e g v ≥ p − 1 \mathrm{degu+degv≥p-1} degu+degv≥p−1,则G是连通的
(证明：反证法)
④定理 判定圈的充分条件(顶点度)
设 G=(V,E) 是至少有一个顶点不是孤立顶点的图, 如果 ∀ u ∈ V , d e g u \forall u\in V,\mathrm{degu} ∀u∈V,degu 为偶数, , 则G中有圈
(证明：最长路法)
⑤定理 判定圈的充分条件(顶点路)
如果图G中的两个不同顶点u与v间有两条不同路联结，则G中有圈
九.补图、偶图
1.补图
设G=(V,E) 是一个图,图 G c = ( V , P 2 ( V ) ∖ E ) \mathrm{G^c=(V, P_2 (V)\setminus E)} Gc=(V,P2(V)∖E)称为G 的补图。如果G 与其补 G c \mathrm{G^c} Gc同构, 则称G 是自补图;
如果图G与图 G c \mathrm{G^c} Gc同构，则称G为自补图
显然，两个顶点u与v 在 G c \mathrm{G^c} Gc 中邻接, , 当仅当u与v 在G 中不邻接
每一个自补图有 4n 或 4n+1 个顶点，有 n ( n − 1 ) 4 \frac{n(n-1)}{4} 4n(n−1)条边
2.偶图（二分图、二部图、双图、双色图）
①定义
偶图
G=(V,E) 称为偶图，如果G的顶点集V 有一个二划分 { V 1 , V 2 } \{V_1 ,V_2\} { V1,V2} ,使得G的任一条边的两个端点一个在 V 1 V_1 V1 中, , 另一个在 V 2 V_2 V2中, , 这个偶图有时记为 ( ( V 1 , V 2 ) , E ) ((V_1,V_2),E) ((V1,V2),E)
完全偶图
如果 ∀ u ∈ V 1 , v ∈ V 2 \forall u\in V _1 ,v\in V_2 ∀u∈V1,v∈V2 均有$ uv\in E$, 则这个偶图称为完全偶图, 并记为 K(m,n) 或{K_{m,n}}, 其中{|V_1|=m,|V_2|=n}
完全偶图有 m ×n条边
两点间距离
G=(V,E) 是一个图 ,u和v是G的顶点。联结u和v 的最短路的长称为u与v 之间的距离, 并记为 d(u,v)
如果u与v 之间没有路, 则定义 d(u,v)= ∞ \infty ∞
②性质（偶图充要条件）
图G为偶图的充分必要条件是它的所有圈都是偶数长
十.欧拉图
1.欧拉迹、欧拉闭迹、欧拉图定义
包含图的所有顶点和边的迹称为欧拉迹
包含图的所有顶点和所有边的闭迹称为欧拉闭迹，存在一条欧拉闭迹的图称为欧拉图
2.性质
①欧拉图判定充要条件
图G是欧拉图 ⟺ \iff ⟺G 是连通的且每个顶点的度都是偶数
②推论：欧拉图等价命题
（1）G是一个欧拉图
（2）G 的每个顶点的度都是偶数
（3）G 的边集能划分成若干互相边不相交的圈
③推论：
图G有一条欧拉迹当且仅当G 是连通的且有两个奇度顶点
④定理（n笔画问题）
设G是连通图,G恰有2n个奇度数顶点 ,n≥1. 则G的全部边可以排成n 条开迹, , 而且至少有n 条开迹
十一.哈密顿图
1.定义
图G的一条生成路称为G的哈密顿路, （所谓G的生成路就是包含G的所有顶点的路）
G 的一个包含所有顶点的圈称为G的一个哈密顿圈, 具有哈密顿圈的图称为哈密顿图
(1) 哈密顿图是连通图且顶点度数不能小于2
(2) 有哈密顿路的图是连通的，1 度顶点不能多于2 个。
2.定理
设 G=(V,E) 是哈密顿图, , 则对V 的每个非空子集 S, 均有 ω ( G − S ) ≤ ∣ S ∣ \omega(G - S)≤ |S| ω(G−S)≤∣S∣ ，其中G-S是从G中去掉S中那些顶点后所得到的图, , 而 ω ( G − S ) \omega(G - S) ω(G−S) 是图G-S 的支数
十二.哈密顿图
1.定义
图G的一条生成路称为G的哈密顿路, （所谓G的生成路就是包含G的所有顶点的路）
G 的一个包含所有顶点的圈称为G的一个哈密顿圈, 具有哈密顿圈的图称为哈密顿图
(1) 哈密顿图是连通图且顶点度数不能小于2
(2) 有哈密顿路的图是连通的，1 度顶点不能多于2 个。
2.定理
设 G=(V,E) 是哈密顿图, , 则对V 的每个非空子集 S, 均有 ω ( G − S ) ≤ ∣ S ∣ \omega(G - S)≤ |S| ω(G−S)≤∣S∣ ，其中G-S是从G中去掉S中那些顶点后所得到的图, , 而 ω ( G − S ) \omega(G - S) ω(G−S) 是图G-S 的支数