睡前说：东西到底能否掉进黑洞呢？

这篇的内容基本以06到09年在论坛和贴吧里的内容为主。
不过由于那段时间的帖子随着后来有段时间国内论坛密码失窃事件而引发的删贴事件而全部消失，所以只能随便写写了。

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这个问题的讨论，源自于这么一个纯粹的数学现象：在黑洞的Schwarzschild解中，黑洞外的粒子到底能否掉入黑洞内呢？
更准确地说，那便是是否存在一根非类空测地线，其可以在有限时间（坐标时或者测地线的内秉时）内从黑洞视界外的区域进入黑洞视界内的区域？
这里，有趣的问题，就如所有相对论中的那些有趣的问题一样，在于从不同的观测者看来，可以有不同的答案——
从无穷远观测者看来（事实上，原始的Schwarzschild解的观测者都是在无穷远边界上的，非无穷远边界上的观测者所观测到的时空度规和原始Schwarzschild解差一个全局坐标变换），不存在类时或者类光测地线可以在有限时间内从视界外进入视界内——甚至都无法在有限时间内抵达视界。
但，从自由落体观测者看来，这情况就完全不一样了——自由落体观测者本身是沿着一根类时或者类光测地线运动的观测者，其会发现，自身在有限时间内就抵达了视界，并且在有限时间内就可以穿过视界，进入黑洞内部——事实上，这便是我们在广义相对论中所经常提到的表观奇异性或者说坐标奇异性：在某些坐标系选择下可能存在的奇异性，在另外一些坐标系中可能是不存在的。这种表观奇异性区别于真正有意思的本征奇异性或者说时空奇异性，比如说Schwarzschild度规在r=0的地方是真正的时空奇异性。
当然，这里比较疙瘩的是这个自由落体观测者看来的抵达黑洞视界及其后进入黑洞内部的所有一切时间，都发生在无穷远观测者的无穷远未来后，即发生在ω+t的时间里，也算是蔚为壮观。。。

关于时空奇异性的定义，大致粗略来说，就是要满足不可延拓与发散这两点，当然严格的定义还牵扯到许多别的东西。

本来嘛 ，问题回答到上面这个程度基本也算是OK了的。

但，有一个问题却是非常有意思的——真的存在一根进入到视界内的测地线么？
这个，倒其实是未必的。

这个看似离经叛道的回答的根源在于——所有GR的教材中都会给出标准答案，采用Schwarzschild度规本身所自带的延拓或者Penrose图的延拓来给出最大延拓时空，然后其中当然有测地线是进入视界的——我们事实上同时也获得了不存在测地线进入视界内的时空，只不过这个时空我们一般并不认为是Schwarzschild度规所真正表达的时空。
这便是最初也是最经典的Einstein-Rosen桥度规，也即第一个虫洞度规。
在这个度规中，黑洞外的粒子依然需要通过无限长的坐标时才能抵达黑洞的视界，然后，和对Schwarzschild度规中测地线行为的诠释不同的是，我们认为此后测地线不是在无穷大坐标时（我们可以很数学地称其为ω时，这里ω是自然数序数）后进入视界内，而是离开视界进入视界外。
除了这点不同，这两个度规没有别的丝毫不同。
而，这点基本行为上的不同难道真的是本质上的么？
也未必，这仅仅是对下面这个测地线方程的两个物理行为上不同但数学上完全等价的解而已：

这里，左面是测地线方程，右面是这个方程的部分解，而通过这个解我们可以清晰地看到：这里存在一个很有趣也很显然的符号选择问题。通过一些一致性条件，我们基本可以认为，当粒子是从视界外开始释放的时候，右面第一个方程两边都去正，从而有：

但对于第二个方程，却并不能给出太合适的选择，即，当测地时τ达到某个特定值时，此时坐标时t为正无穷（我们可以认为是自然数序数ω，或者阿烈夫1，或者超现实数中的ω，反正随便你）时，数学上我们并不能确定此后测地线到底是离开视界朝外，还是穿过视界朝里，这两个看上去都很自然。
于是，朝里的给出了传统的Schwarzschild度规的解释，朝外的则表示在无穷远的未来黑洞转成白洞，或者就是虫洞出现。
因而，其实，我们只能说有一半的概率我们可以相信真的存在一根测地线穿过视界进入了黑洞，且在这根测地线看来，这是在有限时间内就能完成。还有另外一半的概率，我们可以选择相信测地线从来没有进入过黑洞，在无穷远的未来应该进入黑洞的时候，测地线其实弹开了。

由于视界内的度规奇异性，我们很难在视界内选择一个“静止”的位置从而来完成一个“自由粒子释放”的实验，因为在视界内坐标为r的维度其实表现得是类时性，而坐标为t的维度所表现的却是类空，即在视界内时间和空间颠倒了——这或许仅仅纯粹是一个数学上的游戏，但却告诉我们我们事实上很难定义“静止”，因为静止必须是类时朝未来，而时空颠倒后没人说得清未来是r朝0还是r朝视界面，所以这事本身就很难办。而如果我们选择很任性地沿着t朝无穷的类空方向为“静止”，那么结果此时的被测粒子的掉落方向是朝着视界面，因此在这个完全没有物理意义的“静止”释放被测粒子的实验中，我们发现引力朝着视界面。
如果这个反物理的思想实验的结论成立，那物理穿越视界面而“进入”黑洞本身就是反引力的。
当然，上述论证本身就充满了自相矛盾。

或者，我们从另一个角度来看，如果说存在一根测地线穿越视界面进入黑洞内部，从而按照上述方程自然可以在有限时间内抵达r=0的时空本性奇点处，那么，这个过程自然是可以反演的，于是我们发现存在一个测地线，其起点是r=0的奇点，然后在有限时间内穿越黑洞视界来到黑洞外——这点和Penrose的宇宙监督定理矛盾，虽然这个来到黑洞外的时间是在无穷远的未来。

就此来看，选择“弹开”也许并不是什么坏事，最大延拓这货或许仅仅是数学上的玩具，并不对应真实时空。

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当然，问题到这里其实还没有结束。

让我们考虑一个稍微不那么经典的物理过程——现在给黑洞引入辐射。

即便黑洞的引力辐射再怎么小，这都表示，黑洞及其视界可以在有限时间内，特别是从无穷远观测者的有限坐标时内，消失。
而，我们知道，测地线如果可以落入黑洞，或者说可以抵达视界面，这个事件也是发生在无穷远的未来的。
这就表示，无论如何，黑洞外的粒子都不可能在黑洞辐射消失前抵达黑洞。
嘿嘿嘿。
07还是08年我写过好几个程序来模拟这个过程，结论都是粒子不可能掉落到黑洞视界面上。
而且，从数学上来说，这事本身就是不可能发生的——至少在不太极端的情况下必然如此。
既然粒子运动的世界线必然是类时或者类光测地线，而类时测地线必然以向内与向外类光测地线为两侧边界，从而无论如何运动，其内向类光测地线都是粒子可以运动所能达到的极限边界。对内向类光测地线的研究则表明，如果视界面是光锥闭合为一根线的地方，那么只要这个边界是连续的，那就不存在类光测地线可以穿越这个边界，在坐标时有限的条件下——因为这个边界是其可能运动的极限位置，而要达到这个极限的条件就是时间无限。
这个证明可以通过比较复杂的数学手段来完成，基本就是不断构造下确界，然后证明这个下确界在有限坐标时内无法抵达，是其无限坐标时的极限。这点在黑洞蒸发而缩小的过程中非常容易证明。
因此，对于任意类型的度规，这都表明，只要黑洞会蒸发而消失，那么就不存在粒子可以进入黑洞。

到这里，这似乎是一个非常有趣的结论了。

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但，这个结论本身其实并不完备，因为上述论证的基础是：黑洞的视界不会运动。
如果黑洞的视界面在粒子掉入黑洞的时候因为掉入的粒子的能动张量而主动“迎”了上来，将粒子吸如其视界甚至视界内，会如何？

这个论证分为这么几步。
首先，利用微扰展开，07还是08年的时候我简单证明了黑洞的确会迎向落入的粒子。
但，当时的这一步证明其实不够完善，因为这其实是黑洞在粒子引力作用下的位移，所以一阶微扰其实是位移所带来的。
扣除这个位移后，一阶微扰不体现形变，从而黑洞并没有主动“迎接”粒子。
而后，算二阶微扰，这个就很复杂很讨厌了，但却不会消失，从而表示黑洞的确有形变，而且粗略估计这个形变的确是迎向粒子的——事实上，朝着粒子的地方和背离粒子的地方都鼓了起来，这可以看作是粒子对黑洞的潮汐力导致了黑洞的形变，从而主动“迎”向了粒子。
更复杂的二阶微扰项和高阶微扰项就没去算了，因为实在太复杂。

但，证明了存在“迎”向粒子的形变依然不能说明黑洞就会将粒子吸到其视界面上，而且，由于计算太复杂这个也实在没能证明。

所以，到这个层面我们依然不知道粒子是否会被黑洞吞入。

可，问题在这个时候有了一个非常奇妙的改变——我们前对黑洞的形变的计算是建立在这么一个大前提下：粒子对其影响是微扰。
但，我们知道，在强引力环境中这点是未必的。
于是，存在这么一个非常特殊的情况：落入黑洞的物质的质量会引起视界面位置的跳变。
以Schwarzschild度规来做一个不是太适合的粒子好了：假定落入的物体是严格球对称的，以r=0为球心。然后这球物质的密度是一个变化的函数，即m(r,t)。
于是，黑洞视界面的位置就是满足r=2(m0+m(r,t))的r。
是否存在一种特定的m(r,t)，使得在某个特殊的t时，上述代数方程的解突然从r=r1(t)的单解跳变出r=r1(t)与r=r2(t)的双解？且其中r2(t)>r1(t)。
很显然，这样的函数总是存在的。
这样的跳变当然是用微扰展开法无法解决的，所以我自然是找不到它的。
而，这样的m(r,t)或许就可以满足一定的能量条件，于是是自然界允许的。

在上述情况下，粒子就真的可以落入黑洞了，此时黑洞会跳变地“弹出”，将粒子一口吞没，使其成为自身质量的一个组成部分——而，如果我没记错，在Thorne或者其老师Wheeler的著作中的确有提到类似过程的发生。

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好了，到此，这个问题就算是彻底回答完毕了。