数据结构·2018-09-23

第一章

第二节 计算模型

2.4图灵机（TM）

图灵机就是作为我们分析问题的理想模型的一个案例，它由无限长的纸带，有限的字母表，有限种状态，读写头组成。

Transition Function (当前状态，当前字符；改写的目标字符，向左/向右，转入的状态)

当转入的状态为“h”，则停机。

2.5接口

当我们对图灵机做一些操作后。每次完成要把读写头复位到最初的位置停机，因为它本身以后会成为一个算法是一部分，这个算法在调用他之前有严格的规范，这种规范以后就成为大家合作时的一个准则，这种规范，更多是以 “接口” 的形式给出了，这就是“接口” 的影子。

2.6RAM

与TM模型一样，RAM模型为算法提供一个平台，在这个独立的平台上，大家有统一 的标准，对于算法的效率的评判更加可信。

在这些 模型上算法的运行时间跟其在平台上的基本操作次数程线性关系，所以我们这时可以将：T(n) = 算法在求解运算规模为n的问题时，在平台上所需的基本操作次数。

2.7 RAM实例

功能：向下取整的除法，0<= c, 1

[ c/d ]  = max { x | d.x <= c }

           = max { x | d.x <= c }

这里我不想把例子照抄下来，我是想让你明白：懂得问题的等价转化是多么的重要，我们拿到这个问题，大脑就是一片空白，什么都想不到。

但别人就知道如何等价转化，知道设未知数x,x是c一次一次减去d，直到小于零的次数，这个次数，就是我们要得到的整数值。

这恐怕是算法界的基本转化问题的操作，学过数学的都应该懂得转化问题的重要性，你以后要多多注意去培养这个思维，不然写程序这条路，肯定没法走下去。

也就是数学。

第三节 大O记号

3.1大O记号

1. 对于算法的复杂度，常系数项可以忽略，底次项也可以忽略，只需计入O(n^x)即可。

2. O(n)是对T(n)的最差估计，Ω(n)是对T(n)的最好估计，Θ(n)是所谓对T(n)的等效估计。

3.2复杂度

1.O(1)复杂度 （高效解）

算法不含转向（循环，调用，递归等）必顺序执行，复杂度为O(1)，但含有循环，调用，递归未必复杂度就不为O(1)这还要视具体情况而定。

2.O(log n)复杂度（高效解）

    1.常底数无所谓：logb n = logb a . logan ,而logb a是无所谓的，所以常数底都是无所谓的

    2.常数次幂无所谓 log n^c = c.log n = Θ(log n) 所以log内的n次幂也是无所谓的

    3.对数多项式 （log n)^234+(log （n^2+n+3))^125  =  Θ(log n)^234

    4.复杂度为log n 的算法实际非常高效，因为从渐近的意义上讲，log n实际是无限接近于一       个常数的，也就是O(1)的，所以说它也算法高效的一个标志。

3.O(n^c)复杂度 （有效解）

多项式：

100n + 200 = O(n)

(100n  - 500)(20n^2 - 300n + 2013) = O(n*n^2) = O(n^3)   //看过高次项以后，之后直接抹掉底次项就是，更快的得到结果。

(2013n^2  -  20)/(1999n  - 1) = O(n^2 / n) = O(n)

一般的：a n^k + a n^k-1 + ....+ an + a = O(n^k)  ; a>0

线性：所有O(n)类函数

从O(n)到O(n^2)  :  编程习题的主要覆盖范围

幂：((n^2013  -  24n^2003)^1/3  - 512n^567  - 1987n^122  )  =  O(n^61)

4.O(2^n)（难解）

n^c  = O(2^n)

n^1000 = O(1.00001^n) = O(2^n)

1.0001^n = Ω(n^1000)   //可以看到，n的高次幂和2^n没有明显的分界，可以把n的高次视为指数幂的下界。

第四节 算法分析

目标即是通过之前的计算模型和大O记号来对算法进行分析两个任务：正确性 + 复杂性

4.1级数

算术级数：与末项平方同阶

T(n)   =  1 + 2 + .....+  n   =  n(n+1)/2  =  O(n^2)

幂放级数 ： 比幂次高一阶 

T(n) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ....+ n^2 = n(n+1)(2n+1)/6  =  O(n^3)

T(n) = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ....+ n^3 = n^2(n+1)^2/4  =  O(n^4)

集合级数 :于末项同阶

Ta(n)  = a^0 + a^1+...+a^n  = (a^n+1  -  1)/(a - 1)  = O (a^n)

收敛级数

1 + 1/2 +1/2^2 + ....+ 1/n^2 <  1+  1/2^2 = π^2/6 = O(n)

投硬币级数：（1 - λ)(1 + 2λ+3λ^2+4λ^3+...)  = 1/(1 - λ) = O(1)

可能未必收敛，然而长度有限

调和级数：h(n) = 1 + 1/2 + 1/3 + ....+ 1/n = Θ（logn）

log1 + log2 + log3 + ... + logn  = log (n!)  = Θ (nlogn)

4.2循环

例一：

for(int i = 0; i

for(int j = 0; j< n ; j++)

01Operation(i, j );

图解：

算术计数：

例二

for (i = 0; i

for (j = o; j

01Operation(i,j)；

图解：

算术级数:

例三：

for(int i = 0; i

for(int j = 0; j< i ; j++)

01Operation(i, j );

几何级数：

1 + 2 + 4 + 。。。+ 2^[log2(n-1)]  =  2^[log2n] -1= O（n）