最长公共子序列

一，问题描述

给定两个字符串，求解这两个字符串的最长公共子序列（Longest Common Sequence）。比如字符串1：BDCABA；字符串2：ABCBDAB

则这两个字符串的最长公共子序列长度为4，最长公共子序列是：BCBA

二，算法求解

这是一个动态规划的题目。对于可用动态规划求解的问题，一般有两个特征：①最优子结构；②重叠子问题

①最优子结构

设 X=(x1,x2,.....xn) 和 Y={y1,y2,.....ym} 是两个序列，将 X 和 Y 的最长公共子序列记为LCS(X,Y)

找出LCS(X,Y)就是一个最优化问题。因为，我们需要找到X 和 Y中最长的那个公共子序列。而要找X 和 Y的LCS，首先考虑X的最后一个元素和Y的最后一个元素。

(1). 如果 xn=ym，即X的最后一个元素与Y的最后一个元素相同，这说明该元素一定位于公共子序列中。因此，现在只需要找：LCS(Xn-1，Ym-1)

LCS(Xn-1，Ym-1)就是原问题的一个子问题。为什么叫子问题？因为它的规模比原问题小。

为什么是最优的子问题？因为我们要找的是Xn-1 和 Ym-1 的最长公共子序列啊。。。最长的！！！换句话说，就是最优的那个。

(2). 如果xn != ym，这下要麻烦一点，因为它产生了两个子问题：LCS(Xn-1，Ym) 和 LCS(Xn，Ym-1)

因为序列X 和 序列Y 的最后一个元素不相等嘛，那说明最后一个元素不可能是最长公共子序列中的元素嘛。

LCS(Xn-1，Ym)表示：最长公共序列可以在(x1,x2,....x(n-1)) 和 (y1,y2,...yn)中找。

LCS(Xn，Ym-1)表示：最长公共序列可以在(x1,x2,....xn) 和 (y1,y2,...y(n-1))中找。

求解上面两个子问题，得到的公共子序列谁最长，那谁就是 LCS（X,Y）。用数学表示就是：

②重叠子问题
重叠子问题是啥？就是说原问题 转化 成子问题后， 子问题中有相同的问题。

原问题是：LCS(X,Y)。子问题有
①LCS(Xn-1，Ym-1)    
②LCS(Xn-1，Ym)    
③LCS(Xn，Ym-1)

初一看，这三个子问题是不重叠的。可本质上它们是重叠的，因为它们只重叠了一大部分。举例：

第二个子问题：LCS(Xn-1，Ym) 就包含了：问题①LCS(Xn-1，Ym-1)，为什么？

因为，当Xn-1 和 Ym 的最后一个元素不相同时，我们又需要将LCS(Xn-1，Ym)进行分解：分解成：LCS(Xn-1，Ym-1) 和 LCS(Xn-2，Ym)

也就是说：在子问题的继续分解中，有些问题是重叠的。
LCS=max{LCS(Xn-1，Ym)，LCS(Xn，Ym-1)}

代码

#include
using namespace std;
const int INF = 1e3+10;
int c[INF][INF];
int b[INF][INF];
void LCSLength(int m, int n, string x, string y, int c[][INF], int b[][INF]) {
     
    for(int i=1; i<=m; i++) {
     
        c[i][0] = 0;
    }
    for(int i=1; i<=n; i++) {
     
        c[0][i] = 0;
    }
    for(int i=1; i<=m; i++) {
     
        for(int j=1; j<=n; j++) {
     
            if(x[i] == y[j]) {
     
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
                b[i][j] = 1;
            } else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1]) {
     
                c[i][j] = c[i-1][j];
                b[i][j] = 2;
            } else {
     
                c[i][j] = c[i][j-1];
                b[i][j] = 3;
            }
        }
    }
}
void LCS(int i, int j, string x, int b[][INF]) {
     
    if(i == 0 || j == 0) {
     
        return;
    }
    if(b[i][j] == 1) {
     
        cout<<x[i];
        LCS(i-1, j-1, x, b);
    } else if(b[i][j] == 2) {
     
        LCS(i-1, j, x, b);
    } else {
     
        LCS(i, j-1, x, b);
    }
}
int main(){
     
    string str1;
    string str2;
    cin>>str1;
    cin>>str2;
    str1 = " " + str1;
    str2 = " " + str2;
    LCSLength(str1.length()-1, str2.length()-1, str1, str2, c, b);
    LCS(str1.length()-1, str2.length()-1, str1, b);
}
//ABCBDAB
//DBCABA