matlab求二元函数极值算法_[小白头秃]多元函数基本概念总结

1、基本概念

点集			区间	领域
一维	直线	实数集	线段(端点)	(不含端点)
二维	平面	实平面	平面区域(边界)	(不含边界)
三维	空间	实空间	曲面(边界)&体(表面)	(不含边界&表面)

点和点集的关系

内点	外点	边界点
点集E内	点集E外	点集E边界上
存在领域属于E	存在领域与E交集为空	任意领域与E、CUE皆有交集

重要的平面点集

名称	含义
开集	没边界点
闭集	包含内点和边界点
连通集	任意两点连连看
开区域	连通开集
闭区域	连通闭集
有界集	能找着一个确定的最大半径

e.g.

• {(x,y)|1

• {(x,y)|x²>1}无界、开集、不连通

2、多元函数

概念(n元函数)：

任意(x,y)属于D属于R^n， 存在唯一u属于R使得f(a,b,c,……,n)=u

二重极限(以二元为例，可推广至n元)：

设f(x,y)在P0(x0,y0)极限为A，存在一个半径δ，使f(x,y)所有点P(x,y)都在P0的这个半径的去心邻域里，从而使得f(x,y)与A的差的绝对值小于任意一个极小正值(即无穷小)。

重点：

证明：找到那个半径0

证反：P趋于P0，方向任意&&路径任意(无穷多≠任意)

e.g.

性质	备注
多元初等函数在定义区域内连续	定义区域包含在定义域内；极限值=函数值
有界性定理
最值定理	值为一，取值点不唯一
介值定理	能取到最值间任一函数值

3、偏导数

偏增量(在x0处关于x)：Δxz=f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)

偏导数(在x0处关于x)：当Δx趋于0时(Δxz/Δx)的极限

• 求偏导实质上，就是将其他变量视作常数对指定自变量求导。

• 有时候可以通过先将其他自变量数值代入以简化计算。

• 巧妙运用轮换对称性简化计算。

• 导数拆开表示微商；偏导数是一个整体符号，不能拆分，不能抵消。

• 求分段点、不连续点处的偏导数要用定义。

几何意义：

导数：关于自变量x变化的切线斜率

二元函数的偏导数：在曲面中，由其中一自变量y0确定出一个平面，平面与曲面交线关于x变化的切线斜率

一元函数	导数存在→连续→有极限
多元函数	偏导数存在 不能推 连续、有极限；连续→有极限

偏导数存在，函数不一定连续

偏导数存在→一元函数极限定义

连续性→二元函数极限定义

函数连续，偏少数不一定存在

e.g.上半圆锥，对顶点处的偏导不存在

高阶偏导数

若连续，则混合偏导数与对自变量求偏导数的先后次序无关

偏导数求不定积分时，需加上一关于其他自变量的函数项(相当于一元函数的C)

4、全微分

偏增量(关于x)：Δxz=f(x+Δx,y)-f(x,y)

全增量：Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)=AΔx+BΔy+o(ρ)

ρ为两点间距

全微分：dz=df=AΔx+BΔy=fxdx+fydy

一元函数

多元函数

判断二元函数全微分存在

应用：近似计算

5、多元复合函数求导

链式法则

连线相乘，分线相加，一元全导，多元偏导

抽象函数求偏导

全微分形式不变性

(无论u、v是自变量还是中间变量，结果形式相同)

6.隐函数求导

一个方程的情形

隐函数求导公式[公式法]

F(x,y):

F(x,y,z):

全微分形式不变性[微分法]

对方程两边同时求微分，
化简为以下形式：

得到du、dv前系数即为一阶偏导

[直接求导法]

就字面上的意思，方程两边同时对某一变量求偏导，然后移项化简得到偏导

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由方程组确定的隐函数

设F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)满足
①在点P(x0,y0,u0,v0)的某个领域内具有连续偏导数
②F(x0,y0,u0,v0)=0,G(x0,y0,u0,v0)=0
③

推导

F(x,y,u(x,y),v(x,y))=0
G(x,y,u(x,y),v(x,y))=0
两式同时对x求偏导

对y求偏导同理

方程个数=因变量个数=确定的函数个数
总变量个数-因变量个数=自变量个数

解题步骤

①对确定函数的方程两边同时对自变量求导(多个自变量则分别求偏导)
②通过克莱默法则或其他代数运算得到结果
③如果题目还有其他要求，如求二阶导，自个继续求就行

7.多元函数微分学的几何应用

线

x=x(t)
y=y(t)
z=z(t)

参数曲线的切线与法平面

切向量：(x'(t),y'(t),z'(t))

切线：(点向式方程)

法平面：(点法式方程)

两曲面的交线的切线与法平面

方程组两边对x求导，解出dy/dx,dz/dx，之后与前面同理

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面

F(x,y,z)=0
F(x(t),y(t),z(t))=0

曲面的切平面与法线

法向量：

(F_x,F_y,F_z)

法线：(点向式方程)

切平面：(点法式方程)

特殊的当z=f(x,y)时
令F(x,y,z)=f(x,y)-z=0
其他如上同理

法向量的方向余弦

一次项 x→x+x0, y→y+y0

平方项 x^2→xx0, y^2→yy0
交叉项 2xy→x0y+xy0

8.方向导数与梯度

偏导数：fx、fy表示f(x,y)沿x、y轴方向的变化率

方向导数：fl表示f(x,y)沿方向向量l的变化率

• 方向导数是单侧导数，偏导数是双侧导数

• z=f(x,y)沿各个方向的方向导数存在，偏导数不一定存在

• z=f(x,y)P点沿任意方向的方向导数存在，在P点不一定连续

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梯度

几何意义：法向量低指高

• 二元函数：

  • 以一座山在一象限以正海拔为z轴正方向建立空间直角坐标系，取低海拔与高海拔两条闭合等高线在xoy面投影，每条等高线为一条等值线，等高线边缘一点梯度由外指内，z的低值指向高值，即由低海拔指向高海拔酱紫

  • 同理，一个谷则是等高线由内指外，但还是z的低值指向高值，即由低海拔指向高海拔

• 三元函数：

  • 这时候整个山的表面是一个等值面，山体外边是高值，山体内部是低值，低指高就是内指外

  • 谷的话，也就是说凹面，谷表面是一个等值面，谷内部在等值面上方是高值，也就是外指内

9.多元函数的极值

一元函数的极值

定义理解：有个点x0，在法则f下算出来的值比两边都大(都小)，称极大值(极小值)

充分条件

• 导数由正变负，在该点取极大值；负变正，极小值

• 一阶导为0，二阶导小于零，在该点取极大值；大于零，取极小值

必要条件

函数y=f(x)在点可导，且在该点取得极值，则

• 极值是局部概念

• 极值点必须是定义域的内点

• 定义可推广到多元函数

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多元函数的极值

定义理解：有个点(x0,y0)，在法则f下算出来的值比周围一圈都大(都小)，称极大值(极小值)

• 驻点：使偏导数同时为0的点

• 偏导数存在的极值点一定是驻点

• 驻点不一定是极值点

• 可能的极值点：驻点、不可导点

必要条件

函数z=f(x,y)在点(x0,y0)存在偏导数，且在该点取得极值，则

充分条件

AC-B^2>0 无极值

几何意义

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最值

方法：全部可能最值点求出来，再直接求出其值比较(无需判断最大最小值点)

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条件极值

对自变量除定义域限制外还有其他条件限制

[代入法] 显式直接代换消元

[拉格朗日乘数法] 隐式难显化

10.常见题型

1.求多元函数的定义域或表达式
2.求多元函数的极限或判断极限不存在
3.求函数在一点的偏导数、全微分 多元分段函数在一-点的偏导数、全微分
4.偏导函数与全微分的计算
5.复合函数与隐函数的求导计算
6.求偏导数(包括高阶导数)及微分
①显函数及抽象函数
②多元复合函数
③多元隐函数
④交织综合函数
7.偏导数的几何应用(求空间曲线的切线及空间曲面的切平面)
8.求极值与最值
9.偏导数的逆问题

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ps：

我有尽力在写了，但无奈微信不支持markdown只好把部分内容截图放上来，应该不会过分影响观感。

如果有什么问题请在评论中指出，我会及时改正的。

大家高数加油！

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