2021 年 五一数学建模比赛 B 题（第四问至第六问）
文章目录
- 第四问
-
- 第一理解
- 第二理解
- 第五问
- 第六问
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- PageRank 算法
- 应用 PageRank
- J 和 N 设置消防站后
- 逐年建立消防站（失败的尝试）
- 改进方案
- 代码与提问
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第四问
题目是找出不同区域，相关性最高的事件。我们首先整理出事件类型-事件发生密度表格，如下所示：
什么是相关性，我觉得有两个理解：
- 相关性是否指：事件对区域而言呢？也就是找出，该区域某事件发生的密度，在其他区域时，发生密度相差很大的事件，可否如此理解？
- 相关性是否指：事件-事件呢？也就是，不同区域，事件 A 和事件 B 的相关性最大，找出 A 和 B 呢？
第一理解
对于第一个理解，可以沿着上表的行，求出事件的方差，方差最大的那个，就是啦。求出方差如下：
于是，事件 7 是不同区域相关性最大的。
第二理解
第二个理解，沿着行，求出数据的相关性矩阵，找出最大的那个相关性，对应的两个事件，就是啦。
计算偏相关矩阵（使用Pearson相关系数），偏相关系数可以删除其他因素的影响，所以使用偏相关系数：
从上图可以找出，事件 3 和 事件 7 在不同区域的相关性最高。
第五问
找出人口密度和事件密度的关系，首先就得统计出数据咯：
其中事件密度是根据 16-20 年的总数据算出来的。
如何找出关系呢？还记得问题二的方法吗？
我们首先画出数据：
大致可以猜测出，人口密度越大，事件密度（16-20年）越大。
采用第二问的一元回归方法，用线性函数去拟合数据，可得：
我们可以用 R 方来评价模型的效果，计算出模型的 R 方为：0.9996，可见模型的效果很好。
于是，人口密度和事件密度（16-20）： y = 0.4116 x − 0.02374 y=0.4116 x - 0.02374 y=0.4116x−0.02374
第六问
第六问是：
目前该地有两个消防站，分别位于区域J和区域N，请依据附件1和附件2，综合考虑各种因素，建立数学模型，确定如果新建1个消防站，应该建在哪个区域？如果在2021-2029年每隔3年新建1个消防站，则应依次建在哪些区域？
从第四问可知，由于人口密度和事件密度呈现线性关系，且是正相关，所以我们只需要考虑人口密度即可。
先看第一问：该地已经有两个消防站，另一个消防站该建在哪里？
我们不妨先考虑简单的：如果没有消防站，那么消防站应该建在哪里？
若没有消防站，那么，我们可以用谷歌的网页排行算法来解决这个问题。具体是：
- 把每一个节点看成网页
- 把边看成是网页到网页的链接，边的权重视为链接的权重
- 把人口密度视为网页的权重
于是：就可以搜索出最重要的网页，也就是，最重要的节点！
那么，边的权重，以及网页的权重，该如何设置呢？
首先得来看看 PageRank 算法的原理：
PageRank 算法
PageRank 算法要求每一个节点的权重之和是 1，权重是为了模拟每个网页被点击的概率（所有网页被点击的概率当然是 1）
PageRank 算法要求每一个节点，散发出的所有边，的权重之和，为 1。
然后，PageRank 的算法如下（篇幅原因，就用专业的语言描述吧）：
设每一个节点的权重为 N i N_i Ni， i i i 是节点编号，为了方便，就即为 { 1 , 2 , ⋯ , n } \{1,2,\cdots,n\} { 1,2,⋯,n}， n n n 为节点的数量；若 i i i, j j j 存在边，记边的权重为 w i j w_{ij} wij。设收敛标准为：tol，最大迭代步长为：T，当前步长为：t，设权重传递时的损失参数为 α \alpha α算法如下：
i n i t i a l N i ( 0 ) t = 0 for i in n : for j in w i : N j ( t + 1 ) + = α ⋅ N i ( t ) ⋅ w i j i f t ≤ T : b r e a k w h i l e ∑ ∣ N i ( t − 1 ) − N i ( t ) ∣ ≤ t o l \begin{aligned} &initial N_i(0) \\ &t=0 \\ &\text{for ~ }\text{i ~ in ~ }n: \\ &\text{~~~~~~~~for ~ }\text{j ~ in ~ } w_i: \\ &\text{ ~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ } N_j(t+1) += \alpha \cdot N_i(t) \cdot w_{ij}\\ &if \text{~~~~}t \leq T:\\ &\text{~~~~~~~~}break\\ &while \sum|{N_i(t-1)-N_i(t)}|\leq tol \end{aligned} initialNi(0)t=0for i in n: for j in wi: Nj(t+1)+=α⋅Ni(t)⋅wijif t≤T: breakwhile∑∣Ni(t−1)−Ni(t)∣≤tol
应用 PageRank
如何应用呢？
首先如何将节点设置为总和为 1？我认为直接将人口密度进行标准化即可。
如何将某节点的边，设置为总和为 1？
当两个点的距离越大时，应该赋予一个较大的权重。因为距离越远，意味着越需要消防站。因此，如某点到 1，2, 3 的距离为 40,50,10，则权重分别为 0.4, 0.5, 0.1；
带入 PageRank 算法，可得结果如下：
因此，当没有消防站时，最重要的节点是 D。此时应该在 D 中设置消防站。从这个结果来看，还算是比较合理，毕竟 D 节点链接的边最多，而且人口密度也比较多：
J 和 N 设置消防站后
没有设置消防站是，我们用人口密度的标准化，作为节点的权重。
在 J 和 N 设置消防站后，只需要将 J 和 N 的权重设置为 0 即可（或负数，意味着其链接的点的权重也会在迭代过程中下降），这里设置为负数也即，标准化后，J 和 N 的权重为 $ n(w)/15$。其中 n ( w ) n(w) n(w) 为该节点的边数。
之所以设置为 − 2 / 15 -2/15 −2/15，是因为图的节点总数为 15 个，而我们认为一个消防站所起到的扑灭功能，顶的上平均意义上的 n ( w ) n(w) n(w) 个节点权重。当然，这个数值的设置有主观性，it depends。
此时依旧使用 PageRank 算法，可得：
逐年建立消防站（失败的尝试）
因为不知道人口密度的变化，所以按照我们的理论，这是一个静态模型。2021 到 2029 一共 9 年，三年一次，迭代三次。按照上述算法，迭代三次即可：
在运行代码时，我们发现连续三次都需要在 I 中设置消防站，这明显是不合理的。究其原因，就是因为负数在迭代过程中，对周围的线条的影响，超出了我们主观上的预估。
但笔者在将有消防站的节点的权重，设置为 0 时，则出现下面的情况：
改进方案
本文所讲解的 PageRank 是最简单形式。实际上还有许多复杂的算法。对于设置了消防站的节点，我们可以将其视为悬浮节点，也即对所有节点都看成有链接，且链接是单向的，并根据距离，设置单独地权重。
至于如何实现，就要看大家啦！
代码与提问
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