C++-二叉搜索树的查找&插入&删除-二叉搜索树代码实现-二叉搜索树性能分析及解决方案

1. 二叉搜索树

1.1 概念

  二叉搜索树又叫做二叉排序树或者是一棵空树，具有以下性质：

• 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值

• 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值

• 它的左右子树也是二叉搜索树
  

   int a[] = {5,3,4,1,7,8,2,6,0,9}
  

1.2 二叉搜索树操作

1.2.1 二叉搜索树的查找

思路：

• 在根不为空的前提下：
• 如果根节点key == target，返回true
• 如果根节点key > target，在key的左子树查找
• 如果根节点key < target，在key的右子树查找
• 根为空，返回false

实现：

BSTNode* Search(BSTNode *t, const T &key)const
	{
		if (t == nullptr || t->data == key)
			return t;
		if (key < t->data)
			return Search(t->left, key);
		else
			return Search(t->right, key);
	}

1.2.2 二叉搜索树的插入

思路：

• 如果树为空，直接将插入的数据为root节点
• 如果树不为空，将插入数据和根节点进行比较
• 数据大于根节点的值，往树的右边走
• 数据小于根节点的值，往树的左边走
• 数据等于根节点的值，返回，插入失败，因为已经存在该数据

实现：

bool Insert(BSTNode *&t, const T &x)
	{
		if (t == nullptr)
		{
			t = new BSTNode(x);
			return true;
		}
		if (x < t->data)
			return Insert(t->left, x);
		else if (x > t->data)
			return Insert(t->right, x);
		return false;
	}

1.2.3 二叉搜索树的删除

思路：

• 首先查找元素是否存在于二叉搜索树中，如果不存在，则返回
• 删除的节点存在
• （1）要删除的节点无孩子节点
• （2）要删除的节点只有左孩子
• （3）要删除的节点只有右孩子
• （4）要删除的节点既有左孩子也有右孩子

实现：

bool Remove(BSTNode *&t, const T &x)
	{
		if (t == nullptr)
			return false;
		if (x < t->data)
			Remove(t->left, x);
		else if (x > t->data)
			Remove(t->right, x);
		else
		{
			BSTNode *q;
			if (t->left == nullptr && t->right == nullptr)
			{
				delete t;
				t = nullptr;
			}
			else if (t->left != nullptr && t->right == nullptr)
			{
				q = t;
				t = t->left;
				delete q;
			}
			else if (t->right != nullptr && t->left == nullptr)
			{
				q = t;
				t = t->right;
				delete q;
			}
			else
			{
				q = t->left;
				while (q->right != nullptr)
					q = q->right;
				t->data = q->data;
				Remove(t->left, q->data);
			}
			return true;
		}
	}

1.3 二叉搜索树的实现

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

template
class BSTree;

template
class BSTNode
{
	friend class BSTree;
public:
	BSTNode() :data(T()), left(nullptr), right(nullptr)
	{}
	BSTNode(T d, BSTNode *left = nullptr, BSTNode *right = nullptr)
		:data(d), left(left), right(right)
	{}
	~BSTNode()
	{}
private:
	T data;
	BSTNode* left;
	BSTNode* right;
};

template
class BSTree
{
public:
	BSTree() : root(nullptr)
	{}
	BSTree(vector &v) : root(nullptr)
	{
		for (const auto &e : v)
			Insert(e);
	}

public:
	T& Min()const
	{
		return Min(root);
	}
	T& Max()const
	{
		return Max(root);
	}
	BSTNode* Search(const T &key)const
	{
		return Search(root, key);
	}
	bool Insert(const T &x)
	{
		return Insert(root, x);
	}
	bool Remove(const T &x)
	{
		return Remove(root, x);
	}
	void Sort()const
	{
		Sort(root);
	}
protected:
	T& Max(BSTNode *t)const
	{
		assert(t != nullptr);
		while (t->right != nullptr)
			t = t->right;
		return t->data;
	}
	T& Min(BSTNode *t)const
	{
		assert(t != nullptr);
		while (t->left != nullptr)
			t = t->left;
		return t->data;
	}

	BSTNode* Search(BSTNode *t, const T &key)const
	{
		if (t == nullptr || t->data == key)
			return t;
		if (key < t->data)
			return Search(t->left, key);
		else
			return Search(t->right, key);
	}

	bool Insert(BSTNode *&t, const T &x)
	{
		if (t == nullptr)
		{
			t = new BSTNode(x);
			return true;
		}
		if (x < t->data)
			return Insert(t->left, x);
		else if (x > t->data)
			return Insert(t->right, x);
		return false;
	}

	bool Remove(BSTNode *&t, const T &x)
	{
		if (t == nullptr)
			return false;
		if (x < t->data)
			Remove(t->left, x);
		else if (x > t->data)
			Remove(t->right, x);
		else
		{
			BSTNode *q;
			if (t->left == nullptr && t->right == nullptr)
			{
				delete t;
				t = nullptr;
			}
			else if (t->left != nullptr && t->right == nullptr)
			{
				q = t;
				t = t->left;
				delete q;
			}
			else if (t->right != nullptr && t->left == nullptr)
			{
				q = t;
				t = t->right;
				delete q;
			}
			else
			{
				q = t->left;
				while (q->right != nullptr)
					q = q->right;
				t->data = q->data;
				Remove(t->left, q->data);
			}
			return true;
		}
	}

	void Sort(BSTNode *t)const
	{
		if (t != nullptr)
		{
			Sort(t->left);
			cout << t->data << ' ';
			Sort(t->right);
		}
	}
private:
	BSTNode *root;
};

int main()
{
	vector iv{ 10, 15, 18, 12, 20, 5, 9, 7, 3 };
	BSTree bst(iv);
	bst.Sort();
	bst.Insert(13);
	bst.Remove(18);
	cout << endl;
	bst.Sort();
	cout << endl;

	cout << bst.Max() << endl;
	cout << bst.Min() << endl;
	cout << bst.Search(20) << endl;

	return 0;
}

1.4 二叉搜索树的性能分析

  二叉搜索树的插入和删除都必须优先进行查找，因此查找效率代表了二叉搜索树的各操作的主要性能。我们假设某个元素的查找概率相等，如果二叉搜索树的高度越低，平均的比较次数就越少，但是由于树的插入顺序不一样，最后得到的二叉搜索树的结构也可能不一样，比如：再最优的情况下，二叉搜索树为完全二叉树，其平均比较次数为log2^N，最差情况下，二叉搜索树为单支树，这和顺序查找是一样的，其平均比较次数为N/2，那么，当二叉搜索树变成了单支树，就会失去二叉搜索树的性能，因此提出了平衡二叉搜索树。