图像处理空间域、变换域、时域和频域的含义理解：spatial VS transforms domain

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一、引言

在学习冈萨雷斯的《数字图像处理》一书时，涉及几个图像处理域，如时域、频域、空间域、变换域，这些域的概念初学者很容易一头雾水，本文结合《数字图像处理》原版、中译本、网上的几篇博文及自己的理解来谈谈图像处理域的概念。

二、相关概念

2.1、域的概念

域是数域的简称，是一个数学上的概念。
设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域，简称域。

常见数域： 复数域C；实数域R；有理数域Q。

更多介绍请参考《https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/112211720 人工智能数学基础10：域、函数及相关概念》的介绍。

2.2、映射、陪域、值域

设X、Y是集合，若存在对应关系 使X中每个元素x在Y中有且仅有唯一元素y与之对应．则称 f 是从X到Y的映射，记作 f：X->Y，称集合X为映射f 的定义域，记作D(f) 或 dom(f)。称集合Y为映射f的陪域，记为C(f)或codom(f)。Y与X中元素有关系的元素集合{y|∃x(x∈X∧y=f(x)∈B)}称为映射的值域，记作 f(X)或V(X)或R(f)或 ran f。很显然，值域是陪域的子集。定义域 X中的不同元素为值的x变元称为自变元或自变量；陪域 Y中的不同元素为值的y变元称为因变元或因变量

2.3、图像处理域的概念理解

图像处理域的概念老猿没查到相关资料，但按老猿的理解，有如下几点：

1. 图像处理中的域不是数域;
2. 图像的变换说白了就是以输入图像作为自变量，输出图像作为因变量的函数映射处理，如果从域的角度来看应该是以函数定义域和陪域的角度来衡量的；
3. 数字图像表示为f(x,y)，x、y是图像像素位置度量的坐标值，其各自值对应域为实数域，由于其表示的是位置，位置是属于空间的，因此称为空间坐标，对应坐标构成的平面就称为空间域，而图像的几何变换前后的结果都是针对图像坐标的，是从空间域到空间域的映射，因此是属于空间域的变换。老猿认为空间域的变换都是可以通过矩阵运算进行的变换；
4. 图像是波，在图像获取过程中，有些图像（如心电图、航拍图等）是随着时间变化由传感器（如条带传感器）逐渐生成的，因此这些图像可以表示为时间和幅值的关系，因此这种图像变换可以看做是定义域和陪域都可以看成是时间构成的域，叫时域，这种方式表示的图像进行变换称为时域到时域的变换；
5. 由于频率是单位时间的波动次数，因此图像也可以表示为频率与幅值的关系，由图像波频率构成的域就称为频域，这种方式表示的图像进行变换就称为频域到频域的变换；

以上介绍中，空间域的介绍肯定没有问题，时域和频域的介绍应该也基本正确，但是否有不当的表述老猿也没底。关于变换域的理解后面单独分析，在此不多做介绍。

三、关于变换域的理解

本部分重点分析老猿关于变换域的理解，不一定保证正确，但至少能自圆其说。

3.1、《数字图像处理》有关内容的介绍

在英文版第三版中关于变换域相关的内容介绍如下：
In some cases, image processing tasks are best formulated by transforming the input images, carrying the specified task in a transform domain, and applying the inverse transform to return to the spatial domain.

中文版：

从上面中文版和英文版可以看到，没有明确的变换域的定义。

3.2、网上资料的介绍

网上关于变换域介绍的文章比较多，基本上都是与《数字图像处理》介绍内容雷同或拷贝，例如在某博客上看到的是这样描述：“在有些情况下，通过变换输入图像来表达处理任务，在变换域执行处理任务，然后再反变换到空间域会更好。”

在此就不一一展开来介绍了。

3.3、老猿的理解

关于这个变换域，老猿思量了很久，仔细阅读了各种材料，然后又仔细看了《数字图像处理》的中文版本和英文版，最后是这样理解的：

1. 网上各种材料基本都是从《数字图像处理》中文版衍生的，有部分是从英文版结合翻译软件翻译的，并没有完整的表达英文版的原意；
2. 英文版中的核心词语是这个句子中加粗的两个词语，“通过变换输入图像来表达图像处理任务”的中文翻译有问题，整个句子老猿认为应该这样来翻译：在有些情况下，图像处理任务这样来构建最好：变换输入图像、在变换域执行特定任务、应用逆变换回到空间域
3. 上面的句子表明，变换输入图像后，得到的中间结果数据所在的域就是变换域，这里表达的意思只是说要将图像从空间域变换到另一种域中，有利于在变换域内进行后续的特定处理和计算，在变换域内处理完成后再逆变换回到空间域。因此老猿认为“变换域”这一词应该是一泛指域，可以是除空间域的任何其他可能的域，它可能是时域、频域等，不是特定的一个域，具体要看对输入图像采取了什么变换。
4. 在《数字图像处理》中，在该部分后续介绍了双线性变换（对应线性变换域）、傅里叶变换（对应频率变换域），更是说明了这里的变换域是泛指。

以上结论，在属性图像变换的大佬中，应该是个很浅显的知识，可老猿居然花这么久的时间才弄清楚，有人指点和自学的区别真是不一样。

四、小结

本文介绍了图像处理涉及的空间域、变换域、时域和频域的概念，并借助有关资料重点分析了变换域的概念理解，相关资料大多是老猿根据已有资料的推测，如有错误，请各位大佬指正，不甚感谢！

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