视觉三维重建 | 01 摄像机原理及坐标系转换

最早接触视觉三维是本科毕设的时候，当时做的是目标检测与三维定位。所以一直想有机会也分享一下视觉三维重建的知识，最近有空，索性就将一些零碎的知识整理分享出来，有问题欢迎大家评论区留言！

一、摄像机针孔模型

如下图所示，是为人熟知的小孔成像模型。相机成像是三维空间中的光线映射到二维图像平面上形成的。

如果将上述模型进行简化，以一个箭头为例，那么它的成像模型如下的：

注意：光轴与图像平面的角点被称为主点

由相似三角形，易得：$x=fX/Z$

对于更一般的情况，可得到物体在图像平面上的坐标 (x，y) 和相机坐标系中的坐标 $(X_c,Y_c,Z_c)$ 之间的关系：

写成矩阵的形式，可表示为：

二、像素坐标系到相机坐标系

由于安装过程中的精度，主点往往不在图像平面的正中心位置，所以需要引入偏移量 $c_x、c_y$ 进行建模，即：

将这个过程更加标准化一下，可写成如下的矩阵形式：

其中，主点在图像的像素坐标为($c_x、c_y$) ；u、v 分别为 u 轴（x 轴）和 v 轴（y 轴）上的像素坐标；$k_x$ 和 $k_y$ 是将物体单位转换为像素单位的尺度因子，即像素坐标系和像平面坐标系在 u 轴和 v 轴的比例关系。

令$f_x=f{k}_x,f_y=f{k}_y$，则上式可近一步简化为：

注：上述公式中的 $f$ 都指代的是相机的实际物理焦距长度，而$f_x、f_y$是相机的像素焦距长度。相机标定获得的是相机的像素焦距长度$f_x、f_y$，而不是实际物理焦距长度 $f$。

一般，我们把如下的矩阵 K 称为相机的内参矩阵：

注：K是可以通过相机标定直接获得的，相机标定在后续文章中会具体来讲。

三、像素坐标系到世界坐标系

假设世界坐标系到相机坐标系的旋转矩阵为 R，平移矩阵为 T，则世界坐标系与相机坐标系间的转换关系为：

因为，像素坐标系与相机坐标系的关系是：

所以，世界坐标系与像素坐标系之间的关系是：

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由于水平有限，博客中难免会有一些错误，有纰漏之处恳请各位大佬不吝赐教！

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