计算质数，丑数II，完全平方数，合并k个排序链表, 丑数，
总结
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统计数字n以内的质数，找到第n个丑数， 相似点
- 都不是一个一个的检查，而是自底向上，从一个已知的数开始，质数的整数倍肯定不是质数，丑数的2,3,5倍还是丑数。
-
统计数字n以内的质数，找到第n个丑数，组成n的完全平方数的最少个数，相似点
- 自底向上
-
找到第n个丑数，合并k个排序链表
- 用堆找最小元素，
- 弹出堆顶最小元素，以该元素为基，再去得到小元素，加入到堆中
204. 计数质数 简单
统计所有小于非负整数 n 的质数的数量。
示例:
输入: 10
输出: 4
解释: 小于 10 的质数一共有 4 个, 它们是 2, 3, 5, 7 。
思路
参考：
作者：labuladong
链接：https://leetcode-cn.com/problems/count-primes/solution/ru-he-gao-xiao-pan-ding-shai-xuan-su-shu-by-labula/
来源：力扣（LeetCode）
- 最容易想到的：
class Solution {
public int countPrimes(int n) {
int res = 0;
for(int i = 2; i < n; i++) {
if(isPrime(i)) res++;
}
return res;
}
private boolean isPrime(int num) {
for(int i = 2; i < num; i++) {
if(num % i == 0) return false;
}
return true;
}
}
- 优化，找重复计算项，去除重复计算项
- 判断n是不是素数
- 1.不需要n去除[2, n-1]，判断是否可以整除， 而是n去除[2, sqrt(n)]即可。
12 = 2 × 6
12 = 3 × 4
12 = sqrt(12) × sqrt(12)
12 = 4 × 3
12 = 6 × 2- for 循环只需要遍历 [2,sqrt(n)] 就够了
public int countPrimes(int n) {
int count = 0;
for (int i = 1; i < n; i++) {
if (isPrime(i)) count++;
}
return count;
}
private boolean isPrime(int num) {
if (num <= 1) return false;
// Loop's ending condition is i * i <= num instead of i <= sqrt(num)
// to avoid repeatedly calling an expensive function sqrt().
for (int i = 2; i * i <= num; i++) {
if (num % i == 0) return false;
}
return true;
}
- 2.从 2 开始，我们知道 2 是一个素数，那么 2 × 2 = 4, 3 × 2 = 6, 4 × 2 = 8… 都不可能是素数了。
- 发现 3 也是素数，那么 3 × 2 = 6, 3 × 3 = 9, 3 × 4 = 12… 也都不可能是素数了
int countPrimes(int n) {
boolean[] isPrim = new boolean[n];
// 将数组都初始化为 true
Arrays.fill(isPrim, true);
for (int i = 2; i < n; i++)
if (isPrim[i])
// i 的倍数不可能是素数了
for (int j = 2 * i; j < n; j += i)
isPrim[j] = false;
int count = 0;
for (int i = 2; i < n; i++)
if (isPrim[i]) count++;
return
- 3.很难注意到内层的 for 循环也可以优化，我们之前的做法是：
-
for (int j = 2 * i; j < n; j += i)
isPrim[j] = false; -
可以把 i 的整数倍都标记为 false，但是仍然存在计算冗余。
-
比如 n = 25，i = 4 时算法会标记 4 × 2 = 8，4 × 3 = 12 等等数字，但是这两个数字已经被 i = 2 和 i = 3 的 2 × 4 和 3 × 4 标记了。
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我们可以稍微优化一下，让 j 从 i 的平方开始遍历，即规定每个数从大于等于i的i倍开始，而不是从 2 * i 开始：
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例如： 5 × 2 = 10 , 5的2倍，也是2的5倍； 5 × 3 = 15，5的3倍，也是3的6倍，所以从5的5倍开始，不要前面重复的。
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for (int j = i * i; j < n; j += i)
isPrim[j] = false;// 有点dp的感觉
// 先让boolean[] isPrime = new boolean[] 数组全部是true
// 只要是质数，那么他的整数倍就一定不是质数
// 优化1：只需要判断 [2 ~ sqrt(n)]
// 优化2：整数倍判断会有重复，从 j = i * i 判断
-
int countPrimes(int n) {
boolean[] isPrim = new boolean[n];
Arrays.fill(isPrim, true);
for (int i = 2; i * i < n; i++)
if (isPrim[i])
for (int j = i * i; j < n; j += i)
isPrim[j] = false;
int count = 0;
for (int i = 2; i < n; i++)
if (isPrim[i]) count++;
return count;
}
- 面试时，面试官要我把cout写在上面的两层for()循环里；此时，for()循环里，就不能是i * i < n了，而是i < n;
- 因为要统计小于n的所有质数
- i * i < n的作用：
- 例如：
- 12 = 2 × 6
12 = 3 × 4
12 = sqrt(12) × sqrt(12)
12 = 4 × 3
12 = 6 × 2
统计质数2的6倍
如果写成i * i < n，结果乘以2倍，出现以下错误：因为 2 * 2 < 3, 不会进入循环，结果为0；但其实结果为1；
- 针对一些元素，不行；
264. 丑数 II
编写一个程序，找出第 n 个丑数。
丑数就是质因数只包含 2, 3, 5 的正整数。
示例:
输入: n = 10
输出: 12
解释: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 是前 10 个丑数。
思路
- 暴力
- 从1开始判断是否是丑数，是则计数加1；不是则继续向后面的数判断。
- 其实判断丑数的代码，还挺值得多思考的，
class Solution {
public int nthUglyNumber(int n) {
// 从1开始判断，到第n个为止
int count = 1;
int i = 1;
while(count <= n) {
if(isUglyNumber(i)) {
count++;
}
i++;
}
return i - 1; // 第n个数之后，i还会自增一次，所以要减1
}
private boolean isUglyNumber(int num) {
// 不断去除2,3,5,剩下的余数是1则是丑数，不是1则不是丑数
int[] factors = new int[]{
2, 3, 5};
for(int factor : factors) {
while(num % factor == 0) {
num = num / factor;
}
}
return num == 1;
}
}
-
自底向上
- 和从2开始向后寻找质数一样，质数的整数倍一定不是质数。
- 从1开始寻找丑数，根据丑数 = 2^i * 3^j * 5^k， 丑数的2倍，3倍，5倍一定是丑数。
- 寻找到的丑数作为基，继续乘以2,3,5向后寻找，但由于是要找到第n个，所以要从小到大的依次寻找丑数。排序，放入堆中自动排序。
- 还有一点，因为依次寻找数的整数倍，寻找的整数之间肯定会有重复，期间还要去重。怎么去重：每次添加元素时，和堆中的peek()值比较，如果相等则，不添加？
- 堆中弹出的第n个就是第n个丑数。
-
要用Long，不然会报错
class Solution {
public int nthUglyNumber(int n) {
// 一个一个判断找丑数太耗时，因为很多数不是丑数
// 类似dp思想，自底向上；和寻找质数的思想，质数的整数倍肯定不是质数，丑数的2,3,5倍肯定是丑数
// 关键: 从小到大，要找第n个丑数，找第n个，就想到堆
// 类似于合并k个链表思想：将最小的元素添加进去，再弹出最小的元素，以该元素作为基底，再去乘以2,3,5作为新的丑数
// 添加到堆中，再弹出第二小的丑数，再以他为基础...
// 即弹出的最小的，以他为基础的，肯定是第二小的
// 这里还多涉及一个去重问题, 整数倍的整数之间肯定存在重复，导致弹出第i个最小堆顶元素后，此时本是第i+1个最小元素，但是是重复的
Queue<Long> queue = new PriorityQueue<Long>();
int count = 0;
long uglyNum = 1;
queue.add(uglyNum);
int[] factors = new int[]{
2, 3, 5};
while(count < n) {
if(queue.size() > 0) {
uglyNum = queue.poll();
count++;
}
while(queue.size() > 0 && queue.peek() == uglyNum) {
queue.poll();
}
for(int factor : factors) {
queue.add(factor * uglyNum);
}
}
return (int) uglyNum;
}
}
- 用TreeSet去重排序
class Solution {
public int nthUglyNumber(int n) {
// 自底向上
// 堆排序
// 去重
TreeSet<Long> set = new TreeSet<Long>();
long uglyNum = 1;
set.add(uglyNum);
int count = 0;
int[] factors = new int[]{
2, 3, 5};
while(count < n && set.size() > 0) {
uglyNum = set.pollFirst();
count++;
for(int factor : factors) {
set.add(factor * uglyNum);
}
}
return (int) uglyNum;
}
}
279. 完全平方数
给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, …）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。
示例 1:
输入: n = 12
输出: 3
解释: 12 = 4 + 4 + 4.
示例 2:
输入: n = 13
输出: 2
解释: 13 = 4 + 9.
思路
- int[] dp 组成n的完全平方数个数
- dp[i] = Math.min(dp[i - j*j] + 1, dp[i]);
- 自底向上
class Solution {
public int numSquares(int n) {
int[] dp = new int[n+1];
for(int i = 1; i <= n; i++) {
dp[i] = i;
}
for(int i = 1; i <= n; i++) {
for(int j = 1; i - j*j >= 0; j++) {
dp[i] = Math.min(dp[i - j*j] + 1, dp[i]);
}
}
return dp[n];
}
}
23. 合并K个排序链表
合并 k 个排序链表，返回合并后的排序链表。请分析和描述算法的复杂度。
示例:
输入:
[
1->4->5,
1->3->4,
2->6
]
输出: 1->1->2->3->4->4->5->6
思路
class Solution {
public ListNode mergeKLists(ListNode[] lists) {
// 堆来排序
// 每次弹出最小的元素，依次next
Queue<ListNode> queue = new PriorityQueue<>((n1, n2) -> n1.val - n2.val);
int k = lists.length;
for(int i = 0; i < k; i++) {
if(lists[i] != null) {
queue.add(lists[i]);
}
}
ListNode prev = new ListNode(-1);
ListNode curr = prev;
while(queue.size() > 0) {
ListNode minNode = queue.poll();
curr.next = minNode;
curr = curr.next;
if(minNode.next != null) {
queue.add(minNode.next);
}
}
return prev.next;
}
}