面试题62(剑指offer)--圆圈中最后剩下的数字

题目：

0，1，...，n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈里删除第m个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

解法：

    /**
     * 约瑟夫环问题：
     * 长度为n的解可以看作长度为n-1的解加上m之后对n取余
     * 即f(n,m)=(f(n-1,m)+m)%n,
     * f(n-1,m)=(f(n-2,m)+m)%(n-1)
     * @param n
     * @param m
     * @return
     */
    public static int lastRemaining_Solution(int n, int m) {
        if(n<1||m<1){
            return -1;
        }
        int temp=0;
        for (int i = 2; i <=n ; i++) {
            temp=(temp+m)%i;
        }
        return temp;
    }

解释：

• f(n,m)表示在n个数字中删除第m个数字后留下的数字。

• 在n个数字中，第一个被删除的数字为(m-1)%n，记为k，剩余n-1个数字为0,1,2,...k-1,k+1,...n-1。

• 由于下一次删除时从k+1开始，与0~n-1连续序列不同，则记为p((n-1),m),那么必有f(n,m)=p((n-1),m)。

• 由于第二次删除从k+1开始，k+1相当于第一次数字时的0，则存在下列映射：

  映射前	映射后
  k+1	0
  ...	...
  0	n-k-1
  ...	...
  k-1	n-2

则映射函数为g(x)=(x-k-1)%n,其逆映射为g`(x)=(x+k+1)%n。

• 映射后序列也为0~n-2，可以用f((n-1),m)表示。

映射前	映射后
p((n-1),m)	f((n-1),m)
x	g(x)=(x+k+1)%n

• 则p((n-1),m)=(f((n-1),m)+k+1)%n,由于k=(m-1)%n,代入公式可得f(n,m)=(f(n-1,m)+m)%n。