立体几何之目：2007年文数海南卷题18与「常见四面体Ⅰ」

2007年文数海南卷题18（12 分）

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18.（本小题满分12 分）

如图， 为空间四点，在 中，，等边三角形 以 为轴转动.

（Ⅰ）当平面 平面 时，求 ;

（Ⅱ）当 转动时，是否总有 ? 证明你的结论.

2007年文科数学海南卷

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【解答问题Ⅰ】

记 中点为 ，连接 .

（三线合一）

当平面 平面 时，,

又

是等边三角形

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【解答问题Ⅱ】

平面

又 平面

. 证明完毕.

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【回归教材】

这是一道源自课本题的高考题。原题是这个题：人教版《数学-必修2》§2.3.2 练习1（p67）.

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【提炼与提高】

在最近十年的高考中，这一题根改头换面，出现了多次。务必要引起高度重视。

因为这个模型频繁出场，我们给它起个名字：『第一类常见四面体』。注意这不是一个正式的数学术语，只是一个昵称。

『第一类常见四面体』的特征：一个面是正三角形，另一个面是等腰直角三角形。

以下两卷直接使用了本题的基本模型：

2009年文数海南卷18

2017年文数全国卷C19

另外一些考题作了轻度改造，但是仍然可以认出这个『第一类常见四面体』：

2018年全国卷B（文数与理数使用同一模型）

2013年全国卷A

2014年全国卷A

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