丢番图倒数的一道变种题

xyz.png

前言

在虎扑和各种论坛上经常有小学奥数题出现。每次遇到这样的题都会被蜜罐——自己总抱有一种“前事不忘后事之师”的“敝帚自珍”、收破烂的心态，总是不肯承认自己不再擅长小时候那些初等数学中比较复杂的问题。有时候，看到诸如“求阴影面积”的题还是会去做辅助线建系用初等方法费劲吧啦地求解，解出后却有种怅然若失、捶胸顿足之感——又被网络上的“时间小偷”给盘了！

今天又看到一个这种问题，浪费了将近一个半小时才彻底搞明白前因后果。真是后悔啊……

起手

projecteuler 108
projecteuler 110
史上最贱的数学题

fruit.jpg

丢番图倒数、丢番图方程是一个很经典的问题。但其变种却引申出了数学中许多非常深刻的理论。这道题化简后得到是一个二次的问题：

• 求解 对于不同 n 时， 解的个数。

由于 x、y、n 分别都是正整数，且题目存在隐含条件 。因此，问题便简化为求解一个形如 的整数有多少个因数了。

编程 1

上面的问题很简单，也比较直观。

• 对于任意正整数 n，可以通过短除法求出其质因数分解。如果预先有质数表（筛法）的话效率更高。没有质数表对于较小的分解也问题不大。

def prime_factors(n: int):
    results = []
    while n % 2 == 0:
        results.append(2)
        n = n // 2
    for i in range(3, int(math.sqrt(n)) + 1, 2):
        while n % i == 0:
            results.append(i)
            n = n // i
    if n > 2:
        results.append(n)
    return results

• 如想得到所有因子，可以算出因子个数后循环生成得到。

因此，对于给定任意 n，求其有多少个因子/多少组 解的问题，求解非常简单。

然而，这个问题绝非上述分析那么简单。难点在于如何满足“恰好”这个条件。

分析

因子的数量

相对于 projecteuler 110 求解 4M 个解时对应的 n 的大小，本题有异曲同工之妙，但难度稍低。目前，我们能够得到任何可以计算的正整数 n 对应的解的个数，那如何找到特定解的个数对应的最小的 n 值呢？

继续分析。首先，比较好理解的一点：解的个数是 因子个数加一除以二。因为 n 本身是 的因子，但只计入一次；而其他解则为因子的对称配对，又由于 ，故可以通过因子个数得到解的个数，反之亦然。

因此，对于解的个数分别为 100、1000、1000000 (1M)的三个问题，我们需要得到的因子个数则为 199、1999、1999999 (2M-1)。通过 O(1) 素数查表得知，199、1999 为素数，而 1999999 非素数。通过质因数分解函数求得 1999999 = 17 × 71 × 1657。此时，所需条件都已求得

满足条件

为了满足解个数为“恰好”的条件，n 因数分解后的因子个数必须满足上述条件。同时，为了满足“最小”的条件，计算出的 n 一定是按照因数分解后，质因数幂次从大到小排列的结果—— 对正整数成立。

总结

为什么解题遇到了困难：

1. 最初并没有把这个问题分析清楚。在得到约分后的式子后，便盲目使用暴力法求解。后序优化也在考虑分治法，而非从根本上分析问题的本质。
2. 没有想清楚质因数和解的个数之间的关系。
3. 分解质因数时算法效率过低，即便没有素数表、不用筛法，也应该尽可能避开无效的循环次数，而非从头到尾走一遍。
4. 对于算法的重用。算法的关键在于质因数分解算法，但问题的关键在于如何解构、分析背后的本质。分析清楚之后，只需要一个算法和一些辅助语句即可得到答案。