数学作为一门基础学科，就需要非常稳定的地基，而“严格化”正是维持稳定的方法，一般来讲就是严密的证明过程。
我们来证明实数R所具备的完备性，就是R作为数学最基本单位存在的意义。因为数学是在数字上建立起来的，而微积分中的无穷的意义也是从实数R的基础上建立的，无穷才具有意义。
一维认知：
[ 在数学分析中，实数-R,自然数-N，整数-Z，有理数-Q，RNZQ分别代表一种集合。实数由有理数和无理数构成。］
二维认知：
对应关系——集合之间的关系
就是R的个数为什么会大于NZQ的个数，而NZQ个数却相等。
个数用Φ来表示。
问题简写：（数学中简写很重要）
Φ（R）>Φ（N/Z/Q）？
Φ（N）=Φ（Z）=Φ（Q）？
为什么是证明这样的关系？如何证明？
一、为什么是证明这样的关系呢？
R的完备性体现在它的稠密性，即可以覆盖所有数的一个数域。所以就是为了证明它是否覆盖了所有数。就需要比较它的范围是否大于QZN。
R具备完备性，那么完备性该怎样理解？这种完备性可以理解为最为理想的，合适的一种基本存在，并且可以从这个基础上建立更多更复杂的东西。
“即在一个公理系统上判定所有该领域的命题。”
二、如何证明
【集合之间存在对应关系——映射】
（简单来讲就是一个萝卜一个坑）
所以实数集R与自然数集N、整数集Z、有理数集Q相互之间具有映射关系，由这种对应关系可以推出不同集合中数的个数是否相同。
一:
Φ（N）=Φ（Z）=Φ（Q）？
先证明 Φ（N）=Φ（Z）
N = ｛1，2，3，4，5.......｝
Z = ｛0,-1,1,-2,2,......｝
Q=｛m/n| m,n ∈Z, n≠0｝
由于是映射Z→N，所以就相当于给Z中的所有数编号，0为1，-1为2, 1为3 ,-2为4 ...
所以Z中的每个数都能对应一个自然数。
所以... Φ（N）=Φ（Z）
然后证明Φ（N）=Φ（Q）
上面Q的表达式相当于一个二维数轴,假设m为横轴，n为纵轴。我还是直接画个草图。
所以 Φ（N）=Φ（Z）=Φ（Q）,也称之为它们的势都是相等的，并且与自然数集合相等的集合统称为可数个集合。所以Z,Q是可数个集合。
从这里面还可以得到一个信息就是N∈Z∈Q,就是Q是母集，N和Z是它的真子集。由此可以用到下个证明中。
但因为无穷的关系，他们的个数又是相等的。
二:
Φ（R）>Φ（N/Z/Q）
只需证明Φ（R）>Φ（N）即可。
好像没有头绪。。。。
那就利用反证法，证明Φ（R）= Φ（N）.
第一步：
证明Φ（R）=Φ｛x｜x∈（0,1）｝
为啥是证明这个？
因为x是R的真子集啊！！！上面说了要用的。
一般来说就是Φ（R）是一条无限延长的直线上所有数的个数，而Φ（x）是开区间（0，1）的个数。证明两者的个数一样多。
如图二，把区间（0，1）弯曲成半圆与实数轴相切，并从圆心画直线，连接在（0，1）上的交点和在实数集上的交点在同一条直线，说明有对应，很明显这样一直画下去，是可以一一对应的。
所以Φ（R）=Φ（x）
第二步：
【找到逻辑矛盾】
构造一个数 A∈（0，1），从这个区间找到一个数，这个数是自然数N无法一一对应的则证明Φ（R）≠Φ（N）且Φ（R）>Φ（N）
A 可能是这样：
A 1 = 0.9123456......→取点后第1个数: 9
A 2 = 0.8523153......→取第2个数: 5
A 3 = 0.4523645......→取第3个数: 2
A 4 = 0.5233536......→取第4个数: 3
.
.
An
〈这样按照自然数N的取法相当于给它编号〉
然后按取出来的数转换成A'。
假设A' =0.9523698585....
然后再按照数字为9变为0，非9变为9
A'=0.0999990999....
然后你发现不管你取多少次这个数你都是不能用N给它编号，因为你之前第An个数的取的第n个数经过两次转换，An根本取不到。
这是一条漏网之鱼，一个逻辑矛盾。并且这样的数可能更多。
所以Φ（R）>Φ（N）。实数是不可数的。
前面说，与自然数个数相同的是可数的，所以实数是不可数的。不可数就是你不能排成12345678这种序列对应。
结语：
实数的非常的稠密，在实数轴上，是整条直线，而有理数，整数，自然数只是上面无限的点，但个数仍远小于实数的个数。
就是因为它足够的稠密，所以它取极限的时候，极限的点永远都在这样一个集合里面，不会出现其他情况。
正因为实数这样的完备性，所以我们才能进行无限严格的趋近的这样一个过程。无限严格就是精确度可以不断提高。
总结一下概念：
实数具有完备性。
实数不可数，自然数，整数，有理数可数。
下一次总结学习极限咯！