动态规划问题的一般形式就是求最值。动态规划其实是运筹学的一种最优化方法，只不过在计算机问题上应用较多，比如说求最长递增子序列，最小编辑距离等。
既然是求最值，核心问题就是穷举。
动态规划的穷举有点特别，因为这类问题存在「重叠子问题」，如果暴力穷举的话效率会极其低下，所以需要「备忘录」或「DP table」来优化穷举过程，避免不必要的计算。
而且，动态规划问题一定会具备「最优子结构」，才能通过子问题的最值得到原问题的最值。
另外，虽然动态规划的核心思想就是穷举求最值，但是问题可以千变万化，穷举所有可行解并不容易，只有列出正确的「状态转移方程」才能正确地穷举。
以上提到的重叠子问题、最优子结构、状态转移方程就是动态规划三要素。但是在实际的算法问题中，写出状态转移方程是最困难的。辅助思考状态转移方程的思维框架：
明确「状态」-> 定义dp数组/函数的含义->明确「选择」->明确 base case
一、斐波那契数列（理解重叠子问题）
1. 暴力递归
斐波那契数列的数学形式就是递归的，写成代码如下：
int fib(int N) {
if(N＝＝1 | N＝＝2) return 1;
return fib(N-1) + fib(N-2);
}
这样写代码虽然简洁易懂，但是十分低效。假设N＝20，画出递归树（但凡遇到需要递归的问题，最好都画出递归树，这对你分析算法的复杂度，寻找算法低效的原因都有巨大帮助）：
递归算法的时间复杂度怎么计算？子问题的个数乘以解决一个子问题需要的时间。
子问题个数，即递归树中节点的总数。显然二叉树节点总数为指数级别，所以子问题个数为O(2^n)。
解决一个子问题的时间，在本算法中，没有循环，只有一个加法操作，时间为O(1)。
所以这个算法的时间复杂度为O(2^N)，指数级别，爆炸。
观察递归树，很明显发现了算法低效的原因：存在大量重复计算，比如f(18)被计算了两次，而且你可以看到，以f(18)为根的这个递归树体量巨大，多算一遍，就会耗费巨大的时间。更何况，还不止f(18)这一个节点被重复计算，所以这个算法极其低效。
这就是动态规划问题的第一个性质：重叠子问题。
2. 带备忘录的递归解法
既然耗时的原因是重复计算，那么我们可以造一个「备忘录」，每次算出某个子问题的答案后别急着返回，先记到「备忘录」里再返回；每次遇到一个子问题先去「备忘录」里查一查，如果发现之前已经解决过这个问题了，直接把答案拿出来用，不要再耗时去计算了。
一般使用一个数组充当这个「备忘录」，当然你也可以使用哈希表（字典），思想都是一样的。
int fib(int N){
if(N＜1) return 0;
// 备忘录全初始化为0
List
// 初始化最简情况
return helper(memo , N);
}
int helper(List
// base case
if(n＝＝1 || n＝＝2) return 1;
// 已经计算过
if(memo[n] !＝ 0) return memo[n];
memo[n] ＝ helper(memo, n-1) + helper(memo, n-2);
return memo[n];
}
画出递归树，你就知道「备忘录」到底做了什么。
带「备忘录」的递归算法，把一棵存在巨量冗余的递归树通过「剪枝」，改造成了一幅不存在冗余的递归图，极大减少了子问题的个数。
递归算法的时间复杂度计算：子问题个数乘以解决一个子问题需要的时间。这里子问题就是f(1), f(2), f(3), ……, 数量和输入规模 n = 20 成正比，解决一个子问题没循环，时间为O(1)，所以时间复杂度被降到了O(n)。
至此，带备忘录的递归解法的效率已经和迭代的动态规划解法一样了。只不过这种方法叫做「自顶向下」，动态规划叫做「自底向上」。动态规划一般都脱离了递归，而是由循环迭代完成计算，从问题规模最小的 f(1) 和 f(2) 开始往上推， 直到推到我们想要的答案 f(20)。
3. dp数组的迭代解法
有了上一步「备忘录」的启发，我们可以把这个「备忘录」独立出来成为一张表，就叫做DP table 吧，在这张表上完成「自底向上」的推算岂不美哉！
这里引出「状态转移方程」，实际上就是描述问题结构的数据形式。把 f(n) 想做一个状态 n，这个状态 n 是由状态 n-1 和状态 n-2 相加转移而来，这就叫 状态转移。
暴力解就是状态转移方程的直接循环操作，「备忘录」和 DP table只是暴力解的剪枝优化。所以千万不要看不起暴力解，动态规划问题最困难的就是写出状态转移方程，即暴力解。优化方法无非使用备忘录或者DP table，再无奥妙可言。
4.细节优化
根据斐波那契数列的状态转移方程，当前状态只和之前两个状态相关，其实并不需要那么长的一个DP table来存储所有的状态，只要想办法存储之前的两个状态就行了。所以可以进一步优化，把空间复杂度降为O(1)：
动态规划的另一个重要特性「最优子结构」，怎么没有涉及？下面会涉及。斐波那契数列的例子严格来说不算动态规划，因为没有涉及求最值，以上旨在演示算法设计螺旋上升的过程。
二、凑零钱问题（如何列出状态转移方程）
k 种面值的硬币，例如 k = 3，面值分别为1，2，5，每种硬币的数量无限，给定一个总金额 amount = 11，问最少需要多少枚硬币能够凑出11元。这里最少需要三枚硬币：11 = 5 + 5 + 1。如果不能凑出，返回 -1。
1. 暴力递归
这是一个动态规划问题，因为它具有「最优子结构」。要符合「最优子结构」，子问题间必须相互独立。比如：想要考出最高的成绩，那么你的 子问题就是要把语文考到最高，数学考到最高，英语……为了每门课考到最高，你要把每门课相应的选择题分数拿到最高，填空题分数拿到最高，简答题……当然，最终就是你每门课都是满分，这就是最高的总成绩。这个过程符合最优子结构，“每门科目考到最高” 这些子问题是互相独立，互不干扰的。
但是如果加一个条件：你的语文成绩和数学成绩会互相制约，此消彼长。这样的话，子问题并不独立，语文数学成绩无法同时最优，最优子结构被破坏。
那么凑零钱的问题为什么符合最优子结构呢？比如你想求 amount = 11 时的最少硬币数（原问题），只要你知道凑出 amount = 10 （10+1=11），或amount = 8 （8+3=11）， 或amount=6（6+5=11）这些 子问题的最少硬币数，再凑一个对应的硬币，就能得到原问题的答案。因为硬币的数量是没有限制的，子问题之间没有相互制约，是相互独立的。
既然知道了这是个动态规划问题，就要思考如何列出正确的状态转移方程。
先确定「状态」，也就是原问题和子问题中的变量。由于硬币数量无限，所以唯一的状态就是目标金额 amount。
然后确定 dp 函数的定义：当前的目标金额是 n ，至少需要 dp(n) 个硬币凑出该金额。
然后确定「选择」并择优，也就是对于每个状态，可以做出什么选择改变当前状态。具体到这个问题，选择就是从面额列表 coins 中选择一个硬币，然后目标金额就会减少。
最后明确base case，显然目标金额为 0 时，所需硬币数量为 0；当目标金额小于 0 时，无解，返回 -1：
至此，状态转移方程已经完成了，以上算法是暴力解法，以上代码的数学形式就是状态转移方程：
暴力解法这个问题就已经解决了，接下来需要消除重叠子问题：比如 amount = 11，coins = {1，2，5}，递归树如下：
时间复杂度分析：子问题总数 x 每个子问题的时间。
子问题总数为递归树节点个数。总共 n 个子问题，每个子问题可以拆解为 k 条分支，每条分支为 当前总数 + 路径硬币面值，而当前总数如果不是最小子问题，会被继续往下计算 ，直到拆解为最小的子问题（n = 0 或 -1）。考虑最坏的情况，这是一棵满 k 叉树（当然实际并不是这样），总共 n +1 层。
这里是 (k ^ n) / (k-1) 个节点，可以大致看作节点数为 k^（n-1)，另外每个子问题中含有一个遍历不同种类硬币的 for 循环，所以再乘上一个 k，时间复杂度大致为 O( k ^n)，指数级别。
（注：这里推理结果与原文不同，原文较简略。若有不当，请不吝指出！原文如下）
2. 带备忘录的递归
只要和前面斐波那契数列问题一样，用备忘录把子问题的结果记下来，在计算子问题之前，先查找是否有现成答案，就可以消除子问题：
这样子问题总树不会超过 amount ，子问题数目最多为 n，处理每个子问题的循环 k 不变，所以时间复杂度下降为了 O (kn)。
3. dp数组的迭代解法
递归是自顶向下的，dp table 是自底向上的。
三、总结
斐波那契数列问题，解释了如何通过「备忘录」或者「dp table」的方法来优化递归树，并且明确了这两种方法本质上是一样的，只是自顶向下和自底向上的不同而已。
凑零钱的问题，展示了如何流程化确定「状态转移方程」，只要通过状态转移方程写出暴力递归解，剩下的也就是优化递归树，消除重叠子问题而已。
计算机解决问题其实没有任何奇技淫巧，它唯一的解决办法就是穷举，穷举所有的可能性。算法设计无非就是先思考“如何穷举”，然后再追求“如何聪明地穷举”。
列出状态转移方程，就是在解决“如何穷举”的问题。之所以说它难，一是因为很多穷举需要递归实现，二是因为有的问题本身的解空间复杂，不容易穷举完整。
备忘录、DP table就是在追求“如何聪明地穷举”。用空间换时间的思路，是降低时间复杂度的不二法门。