贝叶斯个性化推荐

Key Point1:

能够使用贝叶斯做推荐排序的假设有两个：

1. 用户U对商品和的偏好和其他用户无关（即用户间的独立性）

2. 用户U对商品和的偏好和该用户喜欢的其他商品无关（即商品间的独立性）

这两种关系满足完全性、反对称性和传递性：

完整性：

反对称性：

传递性：

Key Point2:

类似LFM（隐语义模型），BPR将用户U和物品I的排序矩阵X分解成用户矩阵和物品矩阵，满足，k为矩阵的秩

BPR针对每个用户感兴趣的商品进行排序，因此对于任意一个用户u和商品i，期望如下：

BPR最终目标：

找到最合适的W和H，使得最接近，看似类似funkSVD，但推导过程不尽相同

求解过程

优化目标：，根据贝叶斯公式有：；

根据用户物品排序和其他用户无关的假设，有：

很显然问题转化成了分别求解和数据集无关的以及和数据集有关的

的求解过程：

根据用户对i和j喜好的独立性，将后者转化成和样本(u,i,j)有关的公式：

其中，根据完整性和反对称性的性质，上式可以化简成：

①，

其中，，为sigmoid函数，一是为了方便计算，二是sigmoid函数完美的满足了完整性、反对称性和传递性

至此，我们还需要知道的是如何求得，这个式子需要满足时；时，最直观的方式就是表示成下式：

，是(u,i)和(u,j)的值，将此式带入①中，得到：

的求解过程：

也使用贝叶斯定理的假设：即服从正态分布：

还是根据①式，显然需要取对数后再计算，而对于正态分布来说，其对数和成正比：

综合的求解过程：

用梯度上升法求解，对上式求相对于的偏导：

$\frac{\partial ln\;P(\theta|>_u)}{\partial \theta} \propto \sum\limits_{(u,i,j) \in D} \frac{1}{1+e^{\overline{x}_{ui} - \overline{x}_{uj}}}\frac{\partial (\overline{x}_{ui} - \overline{x}_{uj})}{\partial \theta} + \lambda \theta$ ，其中：

而转化为具体的参数就是（这里对理解很关键，也是不同于LFM的地方）!

$\frac{\partial (\overline{x}_{ui} - \overline{x}_{uj})}{\partial \theta} = \begin{cases} (h_{if}-h_{jf})& {if\; \theta = w_{uf}}\\ w_{uf}& {if\;\theta = h_{if}} \\ -w_{uf}& {if\;\theta = h_{jf}}\end{cases}$

总结：

BPR是基于矩阵分解的一种排序算法，但是和funkSVD之类的算法比，它不是做全局的评分优化，而是针对每一个用户自己的商品喜好分贝做排序优化。因此在迭代优化的思路上完全不同。同时对于训练集的要求也是不一样的，funkSVD只需要用户物品对应评分数据二元组做训练集，而BPR则需要用户对商品的喜好排序三元组做训练集。

贝叶斯个性化推荐

求解过程

总结：

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