标量、向量、矩阵、张量及向量和矩阵范数简介

标量、向量、矩阵、张量之间的联系

标量（scalar）
一个标量表示一个单独的数，它不同于线性代数中研究的其他大部分对象（通常是多个数的数组）。我们用斜体表示标量。标量通常被赋予小写的变量名称。

向量（vector）
​一个向量表示一组有序排列的数。通过次序中的索引，我们可以确定每个单独的数。通常我们赋予向量粗体的小写变量名称。当我们需要明确表示向量中的元素时，我们会将元素排列成一个方括号包围的纵柱：
$$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]$$
矩阵（matrix）
​矩阵是具有相同特征和纬度的对象的集合，表现为一张二维数据表。其意义是一个对象表示为矩阵中的一行，一个特征表示为矩阵中的一列，每个特征都有数值型的取值。通常会赋予矩阵粗体的大写变量名称，比如$A$。

张量（tensor）
​在某些情况下，我们会讨论坐标超过两维的数组。一般地，一个数组中的元素分布在若干维坐标的规则网格中，我们将其称之为张量。使用 $A$ 来表示张量“A”。张量$A$中坐标为$(i,j,k)$的元素记作$A_{(i,j,k)}$。

四者之间关系

标量是0阶张量，向量是一阶张量。举例：
​标量就是知道棍子的长度，但是你不会知道棍子指向哪儿。
​向量就是不但知道棍子的长度，还知道棍子指向前面还是后面。
​张量就是不但知道棍子的长度，也知道棍子指向前面还是后面，还能知道这棍子又向上/下和左/右偏转了多少。

向量和矩阵的范数归纳

向量的范数(norm)
​ 定义一个向量为：$a=[-5,6,8,-10]$。任意一组向量设为$x=(x_1,x_2,...,x_N)$。其不同范数求解如下：

• 向量的1范数：向量的各个元素的绝对值之和，上述向量$a$的1范数结果就是：29。

$$\Vert x{\Vert }_1=\sum _{i=1}^N|x_i|$$

• 向量的2范数：向量的每个元素的平方和再开平方根，上述$a$的2范数结果就是：15。

$$\Vert x{\Vert }_2=\sqrt{\sum _{i=1}^N{|x_i|}^2}$$

• 向量的负无穷范数：向量的所有元素的绝对值中最小的：上述向量$a$的负无穷范数结果就是：5。

$$\Vert x{\Vert }_{-\infty }=\min |x_i|$$

• 向量的正无穷范数：向量的所有元素的绝对值中最大的：上述向量$a$的正无穷范数结果就是：10。

$$\Vert x{\Vert }_{+\infty }=\max |x_i|$$

• 向量的p范数：

$$L_p=\Vert x{\Vert }_p=\sqrt[p]{\sum _{i=1}^N|x_i{|}^p}$$

矩阵的范数

定义一个矩阵$A=[-1,2,-3;4,-6,6]$。 任意矩阵定义为：$A_{m\times n}$，其元素为 $a_{ij}$。

矩阵的范数定义为

$$\Vert A{\Vert }_p:=\underset{x̸=0}{\sup }\frac{\Vert Ax{\Vert }_p}{\Vert x{\Vert }_p}$$

当向量取不同范数时, 相应得到了不同的矩阵范数。

• 矩阵的1范数（列范数）：矩阵的每一列上的元

  素绝对值先求和，再从中取个最大的,（列和最大），上述矩阵$A$的1范数先得到$[5,8,9]$，再取最大的最终结果就是：9。
  $$\Vert A{\Vert }_1=\underset{1\le j\le n}{\max }\sum _{i=1}^m|a_{ij}|$$

• 矩阵的2范数：矩阵$A^{T}A$的最大特征值开平方根，上述矩阵$A$的2范数得到的最终结果是：10.0623。

$$\Vert A{\Vert }_2=\sqrt{{\lambda }_{max}(A^{T}A)}$$

其中， ${\lambda }_{max}(A^{T}A)$ 为 $A^{T}A$ 的特征值绝对值的最大值。

• 矩阵的无穷范数（行范数）：矩阵的每一行上的元素绝对值先求和，再从中取个最大的，（行和最大），上述矩阵$A$的行范数先得到$[6；16]$，再取最大的最终结果就是：16。
  $$\Vert A{\Vert }_{\infty }=\underset{1\le i\le m}{\max }\sum _{j=1}^n|a_{ij}|$$

• 矩阵的核范数：矩阵的奇异值（将矩阵svd分解）之和，这个范数可以用来低秩表示（因为最小化核范数，相当于最小化矩阵的秩——低秩），上述矩阵A最终结果就是：10.9287。

• 矩阵的L0范数：矩阵的非0元素的个数，通常用它来表示稀疏，L0范数越小0元素越多，也就越稀疏，上述矩阵$A$最终结果就是：6。

• 矩阵的L1范数：矩阵中的每个元素绝对值之和，它是L0范数的最优凸近似，因此它也可以表示稀疏，上述矩阵$A$最终结果就是：22。

• 矩阵的F范数：矩阵的各个元素平方之和再开平方根，它通常也叫做矩阵的L2范数，它的优点在于它是一个凸函数，可以求导求解，易于计算，上述矩阵A最终结果就是：10.0995。

$$\Vert A{\Vert }_F=\sqrt{(\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{|a_{ij}|}^2)}$$

• 矩阵的 p范数

$$\Vert A{\Vert }_p=\sqrt[p]{(\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{|a_{ij}|}^p)}$$