VII. 图的基本概念

图的基本概念 ：

图G 由 顶点集V 和 边集E 组成，记为 G = ( V， E )

V = {v1, v2, ... , vn} , E = { (u,v) | u ∈V ，v ∈ V }

注 ： 线性表可以是空表，树可以是空树；
但是图不可以是空图，图的 V 一定非空，E可以为空，表示此时图中只有顶点而没有边

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1. 有向图 ： 有向边(弧)
   
   

   有向图&有向边

2. 无向图 ：无向边
   

   

   无向图&无向边

3. 简单图

   • (1) 不存在重复边
   • (2) 不存在顶点到自身的边

4. 多重图 ： 与简单图相对

5. 完全图 ：

   • 无向图中，任意两个顶点之间都存在边，称为无向完全图，n个顶点则有
     n(n-1)/2条边
   • 有向图中，任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧，称为有向完全图，n个顶点则有 n(n-1)条边

6. 子图
   有 G = (V , E) , G' = (V' ，E')
   若 V'⊆V，E‘⊆E，则 G' 是 G 的子图
   若 有V(G') = V(G) 的子图 G' ,则为G的生成子图

7. 连通，连通图，连通分量

• 无向图中，如果从顶点Vi到顶点Vj有路径，则称Vi和Vj连通
  如果图中任意两个顶点都连通，则称该图为连通图
  否则，将无向图的极大连通子图称为其连通分量
  [注]
  无向图中，若一个图有n个顶点，并且有小于n-1条边，则必为非连通图
  任何连通图的连通分量只有一个，即是其自身
  非连通的无向图有多个连通分量。
  图例补上
• 有向图中，若图G中任意两个不同的顶点vi和vj，都存在从vi到vj以及从vj到vi的路径，则称G是强连通图。
  强连通图G的极大强连通子图称为G的强连通分量。
  单连通有向图 ：有向图G中任意两个顶点 vi和vj，存在从vi到 vj 的路径或从 vj 到 vi 的路径，则称该有向图为单连通有向图。
  弱连通 ：有向图G，若忽略G中每条有向边的方向，得到的无向图（即有向图的基图）连通，则称该有向图为弱连通有向图。

注：之后的博文主要基于无向图来实现。

8. 顶点的度，入度与出度
   • (1) 无向图中，顶点v的度 ： 依附于该顶点的边数，记为TD(v)
     有如下结论：
     
     
     
     即 总度 = 2 * 边数
   • (2)有向图中，顶点v：ID(v)记为入度，OD(v)记为出度，TD(v) = ID(v) + OD(v)
     有如下结论： n个顶点，e条边
     
     
     
     即所有顶点的入度和 = 所有顶点的出度和 = 边数