小李飞刀s3
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由本征值计算本征向量

最近需要求解任意本征值的本征矢量，目前有两种方法计算本征值，一种是传统的方法，另外一种是陶哲轩[1]去年提出的一种方法。当然后来发现这种方法不是他首次提出，但是确实是一种新的思路。本次笔记就是为了展示如何用他的结论。例子也是他的论文找的。

由本征值计算本征向量_第1张图片
陶哲轩

计算本征值

计算本征值很容易，例如对于矩阵,

方法简述

传统方法


将计算的本征值带回原矩阵求一个代数方程即可。

陶哲轩新方法

其中

  • 是特征值 对应特征向量的第个元素
  • 是矩的第个特征向量（本征向量、本征矢）
  • 为矩阵的第个余子式，是该余子式的第个特征值。

这种方法的好处是直接带公式就可以，缺点是需要多计算几个本征值。

示例

我们令


其本征值可以通过解方程得出，有三个，

传统方法

传统方法，求解本征矢，对于,我们有


同样的做法，我们可以知道


陶哲轩方法

按照陶哲轩的方法，首先将不同的余子式表示出来



这样就可以依次求出系数了，







可见该方法的不足是不能分辨正负。

  1. https://arxiv.org/abs/1908.03795 ↩

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