矩阵分析学习笔记（六）-若当(Jordan)标准形

阵

元素为的多项式的矩阵矩阵称为阵，记为。
例如，数字方阵的特征矩阵就是一个阵；一个阵中所含多项式的最高次幂称为阵的次数。如果的次数为，则可表示为

其中，为数字矩阵，且

等价标准形

任意一个秩为的阶阵都等价于一个分块阵，即

其中，是首项系数为1的多项式，且，并称该分块阵为的等价标准形，记作。

行列式因子

设阵的秩为，显然中任一阶子式也是的多项式。的所有阶子式的首项系数为1的最大公因式称为的第阶行列式因子，记作。

不变因子

设为阵的阶行列式因子，则称

为的第个不变因子。其中。

初等因子组

假定所讨论的问题都是在复数域中进行，这是任一多项式均可分解为一次因式方幂的积。设的各个不变因子分解如下：
$d_1(\lambda) = (\lambda - a_1) ^ {l_{11}} (\lambda - a_2) ^ {l_{12}} \cdot \cdots \cdot (\lambda - a_s) ^ {l_{1s}} ，\\ d_2(\lambda) = (\lambda - a_1) ^ {l_{21}} (\lambda - a_2) ^ {l_{22}} \cdot \cdots \cdot (\lambda - a_s) ^ {l_{2s}}， \\ \cdots \cdots \\ d_r(\lambda) = (\lambda - a_1) ^ {l_{r1}} (\lambda - a_2) ^ {l_{r2}} \cdot \cdots \cdot (\lambda - a_s) ^ {l_{rs}}，$
式中，是互不相等的复数，是非负整数。因为，可知上述分解式的指数有如下关系：

称上述指数的因式为的初等因子。在计算的初等因子的个数时，要把重复的包括在内。的全部初等因子称为的初等因子组。

若当(Jordan)块和若当矩阵

易知阶方阵的特征矩阵的初等因子只有一个，称为若当(Jordan)块，称矩阵为若当矩阵。

的初等因子组是：

这样，若一个数字矩阵的特征矩阵的初等因子组也是式时，即可知 .以上叙述可归纳为以下定理：

定理：若阶方阵的特征矩阵的初等因子组是,则有

式中时，，

时，

如果不计若当矩阵中若当块的排列次序，则若当矩阵由矩阵唯一确定，称为的若当标准形。

例1：求矩阵的若当标准形。

解：,令得

对于，零空间维数，故有两个若当块；

对于，零空间维数，故有一个若当块；

综上，

例2：设，求可逆矩阵，使为的若当标准形。

解：

令，得.

对于，零空间维数为1，故有1个若当块；

综上，共有两个若当块，故，

设可逆阵，使得，即，则有

即

解齐次线性方程组,

解齐次线性方程组.

由非齐次线性方程组，

故