经典算法面试题（三）：小猪吃米

题目：

在国际象棋的棋盘上面有 NxN个格。每个格里面有若干的米粒。一只小猪站在1x1的格里，小猪每次只能向高位的列或行移动。小猪会吃掉所经过的格子里面所有的米粒。请编写程序计算小猪能吃掉的米粒的最大值。

chess.png

分析：

假设小猪从(0,0)开始到棋盘上任一点(m,n)所能吃到的最多米粒数为f(m,n)，则f(m,n)满足下列关系式：
f(m,n)=max{f(m,n-1), f(m-1,n)} + Matrix[m][n];

注意:

f(0,j) = f(0, j-1) + matrix[0][j], 0<=j<=N-1
f(i,0) = f(i-1, 0) + matrix[i][0], 0<=i<=N-1
上面分析的思路实际上是典型的动态规划思路。

源程序：

#include 

#define MAX(a, b) ((a > b) ? a : b)
#define N 4

int matrix[N][N] = {{2,2,3,0},
                    {0,3,1,1},
                    {1,2,2,1},
                    {4,1,2,2}};

int count[N][N];

// 初始化小猪在第0行或第0列所有位置所能吃到的最大米粒数
void initialize()
{
    count[0][0] = matrix[0][0];
    for(int i=1; i < 4; i++)
    {
        count[0][i] = count[0][i-1] + matrix[0][i];
        count[i][0] = count[i-1][0] + matrix[i][0];
    }
}

// 找出所能吃到的最大的米粒数
int find_max (int i, int j)
{
    if(0 == i)
    {
        return count[0][j];
    }
    else if(0 == j)
    {
        return count[i][0];
    }
    
    int count1 = find_max (i, j-1);
    int count2 = find_max (i-1, j);
    count[i][j] = matrix[i][j] + MAX (count1, count2);
    return count[i][j];
}

// 打印出小猪吃米的完整路径
void print_path (int i, int j)
{
    if ( i >= 0 && j >= 0 )
    {
        if(count[i][j] == count[i-1][j] + matrix[i][j])
        {
            print_path (i-1, j);
        }
        else if(count[i][j] == count[i][j-1] + matrix[i][j])
        {
            print_path (i, j-1);
        }
        
        if(N - 1 == i && N - 1 == j)
        {
            printf ("(%d,%d)", i, j);
            
        }
        else
        {
            printf ("(%d,%d)->", i, j);
        }
    }
}

// 打印出小猪走到矩阵中任一点所能吃到的最大米粒数
void print (void)
{
    for(int i = 0; i < 4; ++i)
    {
        for(int j = 0; j < 4; ++j)
        {
            printf ("%d\t", count[i][j]);
        }
        printf ("\n");
    }
}

int main (void)
{
    initialize ();
    
    int max = find_max(3, 3);
    printf("count = %d\n", max);
    
    print();
    printf("\nThe path is:\n");
    print_path(3, 3);
    putchar('\n');
    
    return 0;
}

运行结果：

count = 15
2   4   7   7   
2   7   8   9   
3   9   11  12  
7   10  13  15  

The path is:
(0,0)->(0,1)->(1,1)->(2,1)->(2,2)->(3,2)->(3,3)

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