数据结构与算法之广义表

前提条件

• 熟悉C语言与指针
• 熟悉数据结构与算法

广义表的基本概念

• 将线性表的元素定义进行扩展，每个元素也可以是一个表，得到一种“表中有表”的递归数据结构，称为广义表。
• 例如，在常用的操作系统中，文件系统(File System)的组织结构是一个典型的广义表应用。
• 在某个文件夹下,既可能存在文件,也可能存在文件夹。如下图是C:\Program Files\Wandoujia文件夹的情况。Wandoujia文件夹是一个广义表,从图左边的树形组织结构可以看出,其包含了3个子文件夹:App、CrashReports和 Update,它们也都是广义表。在图右边展开的Update文件夹包含了4个子文件夹和1个文件:1.1.0.3、Download 、Install、Offiline和 wandoujia_update.exe ,而Download文件夹继续包含了其他文件夹,形成了表中有表的结构。
  
• 广义表(Generalized List)一般记作$L=({\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n)$
• 其中,${\alpha }_i$既可以是不再细分的元素,也可以是广义表,分别称为广义表L的原子和子表。
• 表头(Head)和表尾(Tail):对于非空广义表,第一个元素${\alpha }_1$构成了L的表头。表头可能是原子,也有可能是表。陈表头之外的元素序列$({\alpha }_2,...,{\alpha }_n)$，构成了L的表尾，表尾必定是一个广义表。
• 长度(Length):广义表的元素个数。空表的长度为0。
• 深度(Depth):广义表中括弧的最大嵌套层数。空表的深度为1,原子的深度为0.
  下图是一组广义表示例。其中,L5共享了L1、L3和 L4,L6是一个无穷深度的列表$a,(a,(a,\dots )))$。
  

广义表的存储结构

• 由于广义表的每个元素既可以是原子,又可以是表,导致不能统一规定每个元素所需的存储空间。如果采用顺序存储结构,则无法在初始化时确定所需要的内存空间,因此,广义表通常采用链式存储结构,以便于进行存储空间的管理。
• 广义表的结点分为两种,分别称为原子结点和表结点。表结点用于表示一个广义表,含有值为LIST的标志域tag、指向表头的指针域hp和指向表尾的指针域tp。原子结点用于表示一个原子,含有值为ATOM的标志域tag和存放原子的值域atom,如图所示。
• 表结构

tag=LIST	hp	tp

• 原子结构

tag=ATOM	atom

• 对于广义表$L5=((),(a),(b,(c,(d),e)))$,结构示意图如下。
  
• 注：0为原子结点，1为表结点。

存储结构类型定义

typedef char AtomType;
typedef enum {
     
	ATOM,LIST //ATOM值为0表示原子,LIST值为1表示表结点
}ElemTag;
typedef struct GLNode{
     
	ElemTag tag;//区分原子结点和表结点
	union{
     //原子结点共用存储空间
		AtomType atom;//当tag==ATOM时，本项有意义,存放原子结点值
		struct{
     //当tag==LIST时，本项有意义
			struct GLNode *hp;
			struct GLNode *tp;
		}ptr;//表结点的指针域，其中，ptr.hp指向表头;ptr.tp指向表尾
	}un;
}GLNode.*GList;//广义表

广义表的分解方式

方式一：按表头和表尾分解

方式二：按元素分解

• 以$L=(f,(g),h)为例$
  
• 注：方式二比方式一的分解层数少。方式一每次只将问题规模分为1和n-1，而方式二则将问题规模划分成n个子问题，每个子问题的规模为1。

广义表的基本操作

求广义表深度

• 基本思路:依据分解方式一，将广义表划分成表头和表尾。分别求出表头深度h1和表尾深度h2，然后作比较。
  • (1)如果是空表或者原子，则直接求得深度1或0。
  • (2)如果是非空表，则分别对表头和表尾递归求解。
  • (3)广义表的深度是表头深度加1和表尾深度较大值。

int GListDepth(GList L) {
     //求广义表L的深度
	if(NULL==L) return 1;
	if(ATOM==L->tag) return 0;
	h1=GListDepth(L->un.ptr.hp)+1;//表头深度加1
	h2=GListDepth(L->un.ptr.tp);//表尾的深度与原表相同
	return h1>=h2?h1:h2;
}

在表尾添加元素

• 该操作可基于分解方式二确定广义表的最后一个元素位置，在此位置后添加新的表结点，并将参数p赋予其表头指针hp。
  

Status Append(GList &L,GLNode *p){
     //在广义表L的末尾添加p元素
	GList tail = (GList)malloc(sizeof(GLNode));
	if(NULL==tail) return OVERFLOW;
	tail->tag = LIST;
	tail->un.ptr.hp = p;
	tail->un.ptr.tp = NULL;
	if(NULL==L) L = tail;
	else{
     //定位至最后一个结点
		for(GLNode *pp=L; pp->un.ptr.tp!=NULL;pp=pp>un.ptr.tp);
		pp->un.ptr.tp=tail;
	}
	return OK;
}

参考文献

[1] 严蔚敏，吴伟民. 数据结构（C语言版）. 北京： 清华大学出版社，2020
[2] 严蔚敏，李冬梅，吴伟民. 数据结构（C语言版）（第二版）. 北京： 人民邮电出版社，2021
[3] 吴伟民，李小妹，刘添添，黄剑锋，苏庆，林志毅，李杨.数据结构. 北京：高等教育出版社，2017
[4] 王道论坛. 2022数据结构考研复习指导. 北京：电子工业出版社，2021