微分方程的标准形式为:
即:\dot{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, t),\, \boldsymbol{x}(0) = \boldsymbol{x_0}
这是一阶微分方程组, \boldsymbol{x}
和 \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, t)
均为向量。如果要求解高阶微分方程,需要先转换成一阶微分方程组后再用odeint
求解。
1、集成方程
API中最重要的是集成函数(integrate functions
),一共有5种,它们的调用接口很类似。 integrate_const 的函数调用方式为:
integrate_const(stepper, system, x0, t0, t1, dt, observer)
其中:
stepper
是求解器,也就是所使用的数值算法(例如Runge-Kutta或Euler法)system
是待求解的微分方程x0
是初始条件t0
和 t1 分别是初始时间和结束时间dt
是时间间隔,它重要与否取决于求解器的类型observer
是每N个时间间隔调用一次的函数,可用来打印实时的解,该参数是可选的,如果没有此参数,集成函数会从 t0 计算到 t1 ,不产生任何输出就返回
给定初始状态 x0
,集成函数从初始时间 t0
到结束时间 t1
不断地调用给定的 stepper
,计算微分方程在不同时刻的解,用户还可以提供 observer
以分析某个时刻的状态值。具体选择哪个集成函数取决于你想要什么类型的结果,也就是调用 observer
的频次。
integrate_const
每过相等的时间间隔 dt 会调用一次 observer
,语法为:
integrate_const(stepper, system, x0, t0, t1, dt, observer)
integrate_n_steps
和前面的类似,但它不需要知道结束时间,它只需要知道要计算的步数,语法为:
integrate_n_steps(stepper, system, x0, t0, dt, n, observer)
integrate_times
计算在用户给定时间点的值,语法为:
integrate_times(stepper, system, x0, times_start, times_end, dt, observer) integrate_times(stepper, system, x0, time_range, dt, observer)
integrate_adaptive
用于需要在每个时间间隔调用 observer
的场合,语法为:
integrate_adaptive(stepper, system, x0, t0, t1, dt, observer)
integrate 是最方便的集成函数, 不需要指定 stepper ,简单快捷,语法为:
integrate(system, x0, t0, t1, dt, observer)
求解器stepper
的选择(比如自适应方式会根据误差修改时间间隔)会改变计算的具体实现方式, 但是observer
的调用(也就是你的输出结果)依然遵循上述规则。
2、求解单摆模型
2.1 微分方程标准化
现在求单摆系统微分方程的解,以得出单摆角度随时间变化的规律。其微分方程
即:\ddot{\theta}(t) = -\mu \dot{\theta}(t) - \frac{g}{L} \sin \theta(t)
即:\begin{cases} \dot{\theta}(t) & = \omega(t) \\ \dot{\omega}(t) & = -\mu \omega(t) - g/L \sin \theta(t) \end{cases}
令状态变量
即:\boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} x_1(t)\\ x_2(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \theta(t)\\ \omega(t) \end{bmatrix}
微分方程组变为
即:\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{x}}{\mathrm{d}t}= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \begin{bmatrix} x_1(t)\\ x_2(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_2(t)\\ -\mu x_2(t) - g/L \sin x_1(t) \end{bmatrix}
2.2 代码实现
代码中有如下几个关键点:
- 要定义状态变量的类型
state_type
,定义为std::vector
即可 - 要用方程表示微分方程模型,和
MATLAB
中模型方程的写法非常类似 - 要写一个
Observer
以打印出计算结果,Observer
函数也可以直接将数据写入文件中 - 要选择合适的求解器
stepper
,各种stepper
的特点总结可以看 这里 - 要根据需要选择合适的集成函数,一般选择
integrate_const
即可满足要求
下面的代码可作为标准模板使用:
#include#include #include using namespace std; using namespace boost::numeric::odeint; const double g = 9.81; // 重力加速度 const double L = 1.00; // 摆线长度 const double mu = 0.80; // 阻力系数 // 定义状态变量的类型 typedef std::vector state_type; // 要求解的微分方程 void pendulum(const state_type &x, state_type &dxdt, double t) { dxdt[0] = x[1]; dxdt[1] = -mu*x[1] - g/L*sin(x[0]); } // Observer打印状态值 void write_pendulum(const state_type &x, const double t) { cout << t << '\t' << x[0] << '\t' << x[1] << endl; } int main(int argc, char **argv) { // 初始条件,二维向量 state_type x = {0.10 , 0.00}; // 求解方法为runge_kutta4 integrate_const(runge_kutta4 (), pendulum, x , 0.0 , 5.0 , 0.01 , write_pendulum); }
编译该程序依赖boost
库,要在 CMakeLists.txt
中添加相应的内容。编译成功后运行,会得到如下的结果:
0 0.1 0 0.01 0.0999512 -0.009753 0.02 0.0998052 -0.0194188 0.03 0.0995631 -0.0289887 0.04 0.0992258 -0.0384542 0.05 0.0987944 -0.0478069 0.06 0.0982701 -0.0570385 0.07 0.0976541 -0.0661412 0.08 0.0969477 -0.075107 0.09 0.0961524 -0.0839283 0.1 0.0952696 -0.0925977 0.11 0.094301 -0.101108 ---- many lines ommitted ----
可以将输出数据重定向到文本文件 data.txt
中,然后使用Python
等脚本语言提取数据并画图显示。下面是实现该功能的参考代码:
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt lines = tuple(open("data.txt", 'r')) # 读取文件行到tuple中 rows = len(lines) time = np.zeros(rows) theta = np.zeros(rows) omega = np.zeros(rows) for r in range(rows): [str1, str2, str3] = lines[r].split() time[r] = float(str1) theta[r] = float(str2) omega[r] = float(str3) plt.plot(time, theta, time, omega) # 角度和角速度变化 # plt.plot(theta, omega) # 相图 plt.show()
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