通过Python绘制九种二次曲面

二次曲面

python中绘制三维图需要将坐标系声明为3d。

球面方程为

$$x^2+y^2+z^2=R^2$$

写为极坐标形式为

$$\begin{array}{rl}x& =R\sin \theta \cos \phi \\ y& =R\sin \theta \sin \phi \\ z& =R\cos \theta \end{array}$$

令$R=1$，则画图为

代码如下

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> import numpy as np
>>> theta = np.arange(0,6.4,0.1).reshape(64,1)
>>> phi = np.arange(0,3.2,0.1).reshape(1,32)
>>> x = np.sin(theta)*np.cos(phi)
>>> y = np.sin(theta)*np.sin(phi)
>>> z = np.cos(theta)
>>> ax = plt.gca(projection='3d')
>>> ax.plot_surface(x,y,z)
<mpl_toolkits.mplot3d.art3d.Poly3DCollection object at 0x000001CECF13A730>
>>> plt.show()

二次曲面共有九种，代码均与椭球曲面类似，为了加强立体感，可在画图的时候设置颜色映射，下列各图部分用到

from matplotlib import cm
#...
ax.plot_surface(x,y,z,cmap=cm.coolwarm)

	a,b,c均为1时的曲面
椭圆锥面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$
椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
单叶双曲面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
双叶双曲面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$
椭圆抛物面 $z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$
双曲抛物面 $z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$
椭圆柱面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
双曲柱面 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
抛物柱面 $y^2=2px$

在上面各式中，椭圆锥面、单叶双曲面、双叶双曲面具有极为相似的表达式

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=\{\begin{array}{rlr}& <0& 双叶双曲面\\ & =0& 椭圆锥面\\ & >0& 单叶双曲面\end{array}$$

故可绘制动态图来表示这一过程，由于animation中无法绘制plot_surface，所以采用将单张图片生成gif的方式。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import cm
import imageio

theta = np.arange(0,6.4,0.1)
z = np.arange(-2,2,0.02).reshape(200,1)
gifImgs = []
fig = plt.figure()
for i in np.arange(-1,1,0.02):
    theta = np.arange(0,6.4,0.1).reshape(1,64)
    Z = np.repeat(z,64).reshape(200,64)
    x = np.sqrt(z**2+i)*np.cos(theta)
    y = np.sqrt(z**2+i)*np.sin(theta)
    ax = plt.gca(projection='3d')
    ax.plot_surface(x,y,Z,cmap=cm.coolwarm)
    plt.savefig("%.2f.jpg" % i)
    gifImgs.append(imageio.imread("%.2f.jpg" % i))

imageio.mimsave("test.gif",gifImgs,fps=5)