机器学习中的距离度量（python实现）

最近读《统计学习方法》的时候用到了各种距离，这里做一个小总结，并且用numpy实现一下。
一般的距离度量使用欧氏距离，就是我们生活中最常用的距离概念。但也可以使用其他的度量方式。

1. 闵可夫斯基距离（$L_p$距离）（Minkowski distance）

   闵可夫斯基距离也叫$L_p$距离，欧式距离是$L_p$距离的一种特殊情况。

在这里$p>=1$

• 当$p=2$时，称为欧氏距离(Euclidean distance)

  欧氏距离就是我们最常用的距离。相当于棋子和终点在棋盘上的交叉点，棋子只能沿任意直线（不一定是棋盘上的线）走到终点这样的长度。

• 当$p=1$时，称为曼哈顿距离（Manhattan distance）

  *曼哈顿距离就是每个维度的差值之和。相当于棋子和终点在棋盘上的交叉点，棋子只能沿着棋盘格子的边边走到终点这样的长度。

• 当$p=\infty$时，称为切比雪夫距离(Chebyshev Distance)

  切比雪夫距离是各个坐标距离的最大值。相当于棋子和终点在棋盘上的交叉点，棋子每步只能横跳，纵跳或斜跳到邻近的交叉点最终调到终点的步数

下图是在二维空间中取不同的$p$值时，与原点的$L_p$距离为1的点组成的图形：

从上图可以看到，采用不同的距离度量，最近邻的点也会不同。另外，采用闵可夫斯基距离通常需要数据进行标准化，因为不同维度的量纲会影响距离计算。

2. 余弦距离

   与闵可夫斯基距离不同，余弦距离表征两个向量角度的。表达式为：$dist(A,B)=1-cos(A,B)$.因此取值范围为$[0,2]$（非负性）。

   其中$cos(A,B)=\frac{{\sum }_{i=1}^N(A_i\times B_i)}{({\sum }_{i=1}^N(A_i^2){)}^{\frac{1}{2}}\times ({\sum }_{i=1}^N(B_i^2){)}^{\frac{1}{2}}}$

3. 马氏距离(Mahalanobis distance)

   马氏距离是一种基于样本分布的距离。打比方：有一个集合和一个数据项，通过这个集合的分布来确定这个数据项距离集合总体的远近程度。

   定义：有M个样本向量$\{X_1,...,X_M\}$，协方差矩阵记为$S$,均值记为向量$\mu$，则其中样本向量$x$到$\mu$的马氏距离为：

   $D(x)=((X-\mu {)}^T{S}^{-1}(X-\mu ){)}^{\frac{1}{2}}$

   向量$X_i$到$X_j$的马氏距离为：

   $D(x)=((X_i-X_j{)}^T{S}^{-1}(X_i-X_j){)}^{\frac{1}{2}}$

   注意：

   1. 马氏距离与量纲无关，因为每个维度都是互相独立的。
   2. 样本集合中样本数必须大于样本维度，否则没法算协方差矩阵。

   若协方差矩阵是单位矩阵（样本向量独立同分布），则向量$X_i$到$X_j$的马氏距离为他们的欧式距离。

各距离的numpy实现：

import numpy as np

def mks_distance(x1,x2,p=2):
    '''
    闵可夫斯基距离
    '''
    if len(x1) == len(x2):
        ans = sum(abs(x1 - x2) ** p) ** (1./p)
        return ans
    else:
        print('向量维度必须相等！')



def cos_distance(x1,x2):
    '''
    余弦距离
    '''
    if len(x1) == len(x2):
        a = sum(x1*x2)
        b = sum(x1 ** 2)**(0.5) * sum(x2 ** 2)**(0.5)
        return 1-a/b
    else:
        print('向量维度必须相等！')


def cov(x1,x2):
    '''
    向量协方差
    '''
    n = len(x1)
    if len(x2) == n:
        average1 = sum(x1)/len(x1)
        average2 = sum(x2)/len(x2)
        ans = (1/(n-1)) * sum((x1-average1) * (x2-average2))
        return ans
    else:
        print('向量维度必须相等！')


def ma_distance(m,x):
    '''
    马氏距离
    m为行向量组成的集合
    x为一个行向量
    '''
    a,b = np.shape(m)
    mean_m = m.mean(axis=0)
    if a>b:
        if len(x) == b:
            # 计算协方差矩阵
            s = np.zeros((b,b))
            for i in range(b):
                for j in range(b):
                    s[i][j] = cov(m[:,i],m[:,j])
        else:
            print('向量维度必须等于矩阵列数')
    else:
        print('矩阵行数必须大于列数')
    aa = np.dot((x-mean_m).T,s.T)
    print(s)
    ans = np.dot(aa,(x-mean_m))
    return ans